1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2 1 x2


A 2
B A
0 1

A B


1 2
1 2
例 20 设
求
． f sin 2
解 由于 f sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x ，
所以
f x 1 x ,故知 f (x) 是1 x 的原函数 ，
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解


x6


x5,
6
x5dx x6 C
6
例2
求

1
1 x2
dx.
解

arctgx

1 1 x2
,


1 1 x2
dx

arctgx
C
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
质不
定 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
积
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
分
的 (2) kf ( x)dx k f ( x)dx. （k 是常数，k 0)
x2)

(1 x2) x2 x2 (1 x2 )

1 x2

1
1 x
2
(2)
sin 2
1 x cos2
x

sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
sec2 x csc2 x
例18.
sin 2
1
dx
xcos2 x

sin 2 x cos2 x dx sin 2 x cos2 x
与
性
质
不定积分的运算?
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定 积
定
积 原函数存
分 的
在定理
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函数.
分概
的 概 念
念
不定积分 的定义
函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数

1
1 x2
dx

arctgx C;

1
1 x
2
dx


arcctgx

C;
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1); 1
(4)

1
1 x
2dx

arctgx C;
(5)

1 dx arcsin x C; 1 x2
1 sin2
dx x
csc2
xdx


ctgx
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式
(2)
xdx
x 1 C
1
( 1);
5 1
x2 C 5 1

2
7
x2

C.
7
2
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函数.
概
念
不定积分 的定义
函数 f ( x)的带有任意常数项的原函数
称为 f ( x)在区间I 内的 F( x) f ( x)
不定积分，记为 f ( x)dx F( x) C
与
性
质
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
cos xdx sin x C;
(cos x) sin x
sin xdx cos x C;
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
1
cos2
dx x
sec2
xdx

tgx C;

1 sin2
dx x

csc2
xdx


ctgx

C;
基本初等函数或常数的导数
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctgx)

1
1 x2
(arcctgx)


1
1 x
2
基本积分表

1 dx arcsin x C;
1 x2
1

dx arccos x C;
1 x2
性
质
例5
求积分

( 1
3 x
2

2 )dx. 1 x2
解

( 1
3 x2

1
2
x2
)dx
3
1
1 x2
dx

2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分

1 x x x(1 x2
2
)
dx.
(4)

1
1 x
2
dx

arctgx C;
第四章 不定积分
不定积分的概念
主
要
直接积分法
内
不定积分计算
换元积分法
容
方法及类型
分部积分法
特殊类型积分法
基本要求：正确进行不定积分的计算
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
主要内容：不定积分的定义
不定积分的性质 基本积分公式 直接积分法
不 原函数 定
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
x)

1 x lna
( x ) x 1
a xdx a x C; ln a
e xdx e x C;

1 x
dx

ln
x

C;

1 x
dx

ln a loga
x
C;
xdx x1 C ( 1);
1
(sin x) cos x
解 dy sec2 x sin x, dx
y sec2 x sin xdx
tan x cos x C, y(0) 5, C 6, 所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
17. 求下列积分:
(留给读者)
提示:
(1)
1 x2 (1
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定
积 分 的
积概
在区间 I 内原函数.
分念
的
概
念 与
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数.
性 质
ln x 1 ( x 0)
x
ln x是1 在区间(0,) 内的原函数. x
不 原函数 定
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定 积
积
在区间 I 内原函数.
分 的 概
原函数存 在定理
连续函数一定有原函数.
分念
的
概
念
问题：(1) 原函数是否唯一？
与 性
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定
定 积 分
原函数存 在定理
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函
积 分 的
的 概 不定积分 念 的定义
数.
函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数
称为 f ( x)在区间I 内的
概 念 与 性
基本)

1 dx arcsin x C; 1 x2
解
1 x x2 x(1 x2 )
dx

x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
(3)

dx x

ln
x

C;


1
1 x
2

1 x
dx

1 1 x2 dx
1
(4)

1
1 x
2
原函数 不
F ( x) f ( x)或 dF ( x) f ( x)dx
那么函数 F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx
不 定 积
定
积 原函数存
分 的
在定理
在区间 I 内原函数.
连续函数一定有原函数.
分概
的 概 念
念
不定积分 的定义
函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数
(3)

1 x
dx

ln
x

C;
(12) e xdx e x C;
(13)

a xdx

ax ln a

C;
(6) cos xdx sin x C;