．记 ．
，其中 表示不
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 已知向量
，向量
，函数
（1） 若
，且
，求 的值．
（2） 在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
求
面积的取值范围．
．
，且
，
4
18. 某商场举行双 有奖促销活动，顾客购买 元的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 个红球 ， 和 个白球 的甲箱与装有 个红球 ， 和 个白球 的乙箱中，各随机摸出 个球，这些球
距离均大于 的概率是（ ）． A. B. C. D.
11. 若
，
的取值范围是（ ）．
A.
，使得不等式
成立，则正实数
3
B. C. D.
12. 已知双曲线 的方程为 线 上的点 满足：
A. B. C. D.
，其左右焦点分别为 ， ，已知点 的坐标为 ，双曲
，则三角形
与三角形
，面积之差为（ ）．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
中，侧棱 底面
， 是 的中点，连接 ， ， ．
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求证： （3） 若
为直角三角形．
平面
．
，求多面体
的体积．
20. 平面直角坐标系内有三定点
，
，
， 是曲线 上任意一点，若满足
恒成立．
（ 1 ） 求曲线 的轨迹方程．
（ 2 ） 过点 的直线与曲线 交于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的直线与曲线 交于 ，
又∵当
时，
，
，
∴
，排除选项 ．
故选 ．
10. C 解析: 画出关于 ， 不等式组
所构成的三角形区域如图：
9
易知
为等腰 ，且
，
，
分别以 ， ， 为圆心，
以 单位为半径画圆与
所围成的阴影部为离三个顶点距都不大于 ，
阴
，
∴其到三个顶点距离均大于 的概率
．
故选 ．
11. D
解析:
∵
，则
，
又∵
，
，
使不等式 即
13. 某个年级有男生 人，女生 样本，则此样本中男生人数为
人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 的 ．
14. 已知函数
，
区间
上单调，求 的取值范围
．
15. 直三棱柱
中，
在同一球面上，则该球的表面积为
．
，且
，若该三棱柱的所有顶点都
16. 已知数列 满足 超过 的最大整数，求
， 的值为
，
由正弦定理可得，
，
故，
由正弦定理可得，
外接圆半径 满足：
，
， ．
，
∵
，
∴
，
，
，
即
．
18.（ 1 ）所有可能的结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ．
13
（ 2 ）不正确，证明见解析． 解析: （ 1 ）所有可能的结果为： ， ， ， ， ， ， ， （ 2 ）不正确．
所有可能的结果有 种，并且每种结果出现的可能性相同． 中奖的结果一共有 种，所以中奖的概率是 ，不中奖的概率是 ，
，
在
中
，
，
可得
，
由正弦定理，
，
可得
外接圆半径
，
设此圆圆心为 ，球心为 ，
在
中，易得球半径
，
故此球的表面积为
．
故答案为： ．
16.
解析:
∵
，
∴
， ， ， ，
12
易知，数列 均比 小，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴
，
∴
．
17.（ 1 ） （2）
解析: （1）
所以 因为 所以 解得
． ．
， ，
， ．
，
（ 2 ）由题意可得
D.
，
，则
的
8. 汹涌湍急的底格里斯河与幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，是人类文明发祥地之一，美索不达
米亚的学者在发展程序化算法方面表现出了熟练技巧，他们创造了许多成熟的算法，求正数平方根近似
值的算法是最具有代表性的．耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥板（编号 ），其上载有 的近似
值，结果精确到六十进制的三位小数，用十进制写出来是
成立．
成立，
∴
恒成立．
又∵
在
单调递增，
∴
恒成立，
∴
，
恒成立，
令
，则
．
又∵当
时，
，
∴
在
恒成立，
∴在
恒为增，
∴
．
故选 ．
12. B 解析: ∵
点在
的平分线上，
下面证明点 即是
的内心，
10
作如图所示辅助线，辅助点，由切线长定理知：
，
，
又
又
， ，
（其中 为
的内心），
由∵
，
∴点 与点 重合，
，
∴
．
故选 ．
13.
．
（2）
．
解析:
（1）
当
时，
，
当
，
，故
当
，
，可得
当
，
，可得
综上所述，不等式的解集为
； ；
， ．
（ 2 ）由题知
在区间 上恒成立．
故
，可得
，即
，
故
对于
恒成立．
因此
，故
．
17
，这个结果是相当精确的．下面给出
了求 的近似值的算法．执行下面程序框图，若输入的被开方数
， 的首次近似值
，输出
的近似值 为
，则空白判断框中的条件可能为（ ）． （
）
开始 输入
是 输出 否
结束
A. B. C. D.
9. 函数
的大致图象为（ ）．
2
A. B.
C.
D.
10. 在不等式组
，所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的
2020年江西高三一模数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设 A.
，则复数 的模为（ ）．
B.
C.
2. 已知全集
，集合
中阴影部分对应的集合为（ ）．
，集合
D.
，则右边
图
A.
B.
C.
D.
3. 已知抛物线方程
，则其准线方程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. 已知
，
，
，则 ， , 的大小关系为（ ）．
解析:
因为男生有 人，女生有 人，所以年级共有
（人），
因为用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 的样本，
所以每个个体被抽到的概率是
，
所以要从男生中抽取
（人）．
故答案为： ．
14. 解析: 当 函数 则
时， ，
， 在区间 上单调，
11
解得
，
又
，故 的取值范围是
．
15. 解析: ，
如图底面三角形 的外心是 ，
所以
即
，
有三个不同的零点， 上单调递减，
可得
．
22.（ 1 ）曲线 的普通方程为
曲线 的直角坐标方程为
（2）
．
，
．
．
解析: （1）
，
，①
，
，②
②式除以①式可得
，③
将③式代入①式可得
，
整理可得曲线 的普通方程为
，
曲线 的直角坐标方程为
．
（ 2 ）圆心
到直线
的距离
故 的最小值为
．
． ．
16
23.（ 1 ）
可设直 线的方程为
，
与曲线 的方程联立，可得
，
，
，
可设直线 的方程为
，
同理可得
， 可得
解得
，
故直线 的方程为
， ，
，
15
即
．
21.（ 1 ）
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（1）
，
则在点 处的切线方程为
，
整理得
．
（2）
，
构造函数
，
即
，
过点
可做曲线
的三条切线等价于函数
，
故函数 在
上单调减，
上单调递增，
7. B
解析:
∵
中，
由正弦定理
则
，
余弦定理
∴
，
∵
，
，
∴
， ，
，
，
则
，
由
，
∴
， ，
． 故选 ．
8. B
解析:
此题根据调解逐步计算进行判断：
①
，
，
，
，．
8
②
，
，
③
，
，
此时
，
∴ 满足条件， ∴ 符合， ∴故选 ．
， ，
，． ，．
9. D 解析: 由 又
，得
，即函数 的定义域是 ，
，
∴函数 是偶函数，其图象关于 轴对称，排除选项 、 ，
除颜色，标号外都一样．若摸出的 个球颜色相同则中奖，否则不中奖． （ 1 ） 用球的标号列出所有可能的摸出结果． （ 2 ） 小明根据经验认为：摸到同色球一般来说更为难得，所以猜测中奖的概率小于不中奖的概率， 你认为小明的猜想正确吗？请说明理由．