1徐汇区数学 本卷共×页 第×页2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷1 数学学科（理科） 2014.12 一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)3 1．计算：210lim______323n n n →∞+=+．42．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是_______________．5 3．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭_______________．64．已知sin x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = ．（结果用反三角函数值表示） 7 5．直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l8 的法向量，则实数=a．9 6． 如果11111()12312nf n n n =++++++++（*n N ∈）那么(1)()f k f k +-共有 10 项．11 7．若函数()f x 的图象经过(0,1)点，则函数(3)f x +的反函数的图象必经过点12 _______．13 8．某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，14 则此2人是同一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）15 9．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =____________．162徐汇区数学 本卷共×页 第×页10．在平面直角坐标系中，动点P 和点()2,0M -、()2,0N 满足17 ||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(),P x y 的轨迹方程为__________________．1811．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ．已知19 这组数据的平均数为20 10，方差为2，则x y -的值为___________________． 2112．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、22 AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则xy x y+23 的值为_________________．24 2526 13．一个五位数,,,abcde a b b c d d e <>><满足且,(37201,45412a d b e >>如），则称27 这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有_______个五位数符合“正弦规律”．2829 14．定义区间],[],(),,[),(d c 、d c d c 、d c 的长度均为)(c d c d >-.已知实数,().a b a b >则满30 足x bx a x 的111≥-+-构成的区间的长度之和为_______． 3132 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）3334 15．直线(0,0)bx ay ab a b +=<<的倾斜角是353徐汇区数学 本卷共×页 第×页--------------------------------( )36 （Ａ）arctan a b π- （Ｂ）arctan b a π- （Ｃ）arctan()a b - （Ｄ）arctan()ba-37 16．为了得到函数R x xy ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像38 上所有的点39 -------------------------------------------------------------------40 ----------------------------------------------（ ） 41 （A ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标42 不变）43 （B ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标44 不变）45 （C ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标46 不变）47 （D ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标48 不变）49 17．函数()f x x x a b=++是奇函数的充要条件是50 ----------------------------------------------（ ）51 （A ）0ab = （B ）0a b += （C ）220a b += （D ）a b =52534徐汇区数学 本卷共×页 第×页18．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，54 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：55①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+}；56③(){}2,log M x y y x ==； ④(){}2x M x,y |y e ==-．其中是“垂直对点集”的序号57 是 （ ）58 （A ） ①② （B ） ②③（C ） ①④ （D ） ②④5960 三．解答题：（本大题共5题，满分74分）61 19．（本题满分12分）62 在ABC ∆中，,BC a AC b ==，a b 、是方程220x -+=的两个根，且63 0120A B +=。

64 求ABC ∆的面积及AB 的长．6566 20．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 67 已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-． 68（1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围；695徐汇区数学 本卷共×页 第×页（2）求()()g x f x -的最大值．7071 21．（本题满分14分；第（1）小题5分，第（2）小题9分） 72 某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年） 73满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+．（设该生物出生时0t =）74 （1） 需经过多少时间，该生物的身长超过8米；75 （2） 设出生后第0t 年内，该生物长得最快，求()00t t N *∈的值． 7677 22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）78给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，C79 的“伴80 随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是12(F F ．81（1）若椭圆C 上一动点1M 满足1112||||4M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”82 的方程；83 （2）在（1）的条件下，过点(0,)(0)P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且84 截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； 85 （3）已知()cos 3,(,0,)sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在,a b ，使椭圆C 的866徐汇区数学 本卷共×页 第×页“伴随圆”上的点到过两点22(,),(,)m m n n 的直线的最短距离22min d a b b =+-．若存在，87 求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．88 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 89 称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n (2,3,4,)n =阶“期待数列”： 90①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=．91（1）若等比数列{}n a 为2k (*k N ∈)阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公92 式；93 （2）若一个等差数列{}n a 既是2k (*k N ∈)阶“期待数列”又是递增数列，求该94 数列的通项公式；95 （3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =：96（ⅰ）求证：1||2k S ≤； 97（ⅱ）若存在{1,2,3,,}m n ∈使12m S =，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数98 列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．99 100101102 103 104 105 106 107108109110111112113114115116117118119120121122123请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效128129一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）7徐汇区数学本卷共×页第×页1． 2． 3．1301314． __ 5． _ 6．1327． __ 8． _ 9．13310． 11． 12．1341３． 1４．135二、选择题（本大题共4题，满分20分。

本大题必须使用2B铅笔填涂）15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13613717．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 138三、解答题（本大题共5题，满分74分）13919．[解]8徐汇区数学本卷共×页第×页1439徐汇区数学本卷共×页第×页10徐汇区数学本卷共×页第×页14511徐汇区数学本卷共×页第×页。