2020年秋高二年级数学期末模拟试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是()A. p与qB. l与mC. q与lD. l与n【答案】B【解析】解：任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，在A中，p与q不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A错误；在B中，l与m即不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B正确；在C中，q与l不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C错误；在D中，l与n能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知集合A={a,1}，B={a2,0}，那么“a=−1”是“A∩B≠⌀”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当a=−1时，A={−1,1}，B={1,0}，则A∩B={1}≠⌀成立，即充分性成立，若A∩B≠⌀，则a2=1或a2=a，即a=1或a=−1或a=0，当a=1时，A={1,1}不成立，当a=−1时，A={−1,1}，B={1,0}，则A∩B={1}≠⌀成立，当a=0时，B={0,0}不成立，综上a=−1，即“a=−1”是“A∩B≠⌀”的充要条件，故选：C．根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键．3. 利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A. 14B. 13C. 514D. 1027【答案】C【解析】根据题意，9n−1=13，解得n =28.故每个个体被抽到的概率为1028=514．4. 已知圆C ：x 2+y 2−8x +15=0，直线y =kx +2上至少存在一点P ，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是( )A. [−35,1]B. [−54,1]C. [−43,0]D. [−53,0]【答案】C【解析】解：问题等价于圆心(4,0)到直线l 的距离小于等于2， ∴√k 2+1≤2，解得−43≤k ≤0，故选：C ．问题等价于圆心(4,0)到直线l 的距离小于等于2． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．5. 已知在平行六面体ABCD −A′B′C′D′中，AB =3，AD =4，AA′=5，∠BAD =120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，则AC′的长为( )A. 5√2B. 5√3C. √58D. √53【答案】D 【解析】 【分析】本题考查空间向量的模长和夹角的余弦值的运算，化向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是解决问题的关键，属中档题．可得AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，开方可得．【解答】解：在平行六面体ABCD −A′B′C′D′中，AB =3，AD =4，AA′=5，∠BAD =120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°， 可得AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=32+42+52+2(−3×4×12+3×5×12+4×5×0)=53， 故AC ′的长等于|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√53． 故选：D ．6. 某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x +2y 的值是A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】A 【解析】 【分析】有数据的中位数为12，能推导出x +y 以及平均数，要使总体方差最小，只要(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2最小即可，本题主要考查利用茎叶图整理、分析，数据估计、推断数据的能力，属于中档题． 【解答】解：由题可知该十个数据的中位数为12，故x+y+202=12，即x +y =4，则总体平均数=110(2+2+3+4+x +10+y +10+19+19+20+21)=11.4， 要使总体的方差最小，只要(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2最小， 即(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2≥2(x+10+y+10−22.82)2=0.72，当且仅当x =y =2时可以去等号， 故4x +2y =12， 故选A ．7. 已知函数，若对任意x 1∈[1,+∞)，总存在，使f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,12) B.C.D. (1,32]∪[74,2]【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的值域，集合的子集关系，及集合关系中的参数取值问题，属于一般题． 先求出函数f(x)的值域A ，设g(x)的值域B ，由题意知A 是B 的子集，从而可以求得实数a 的取值范围． 【解答】解：因为x ≥1，所以函数f(x)=2x−2≥12， 所以函数f(x)的值域A =[12,+∞),设g(x)的值域B ，由题意知A 是B 的子集，当x <0时，函数g(x)=x 2+2a 为减函数，所以g(x)>2a ， 当x ≥0时函数g(x)∈[2−|a |,2+|a |]， (1)当2a <12即a <14时，满足A 是B 的子集，(2)当a ≥14时，{2−a ≤122+a ≥2a，解得32≤a ≤2，综上，a <14或32≤a ≤2，故选B ．8. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD 是边长为4的正三角形底面ABCD 为正方形侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点M 到直线AB 的最远距离为( )A. 2√5B. 3+√5C. 4+√5D. 4+2√2【答案】B 【解析】 【分析】取AD 中点E ，易证PE ⊥平面ABCD ，利用数量积为0，可得MP ⊥MC ，即点M 在以PC 为直径的球面被平面ABCD 截得的球面上，问题转会化为求圆上点到直线的距离最值问题．此题考查了线面垂直，面面垂直，圆上的点到直线的距离最值问题等，难度适中． 【解答】解：如图，在正三角形PAD 中取AD 中点E ， 连接PE ，CE ，则PE ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD 是平面PAD 和平面ABCD 的交线， ∴PE ⊥平面ABCD ， ∵EC ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥EC ，取PC 中点O ，EC 中点O ′，连接OO ′， 则OO ′//PE ， ∴OO ′⊥平面ABCD ， 由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得MP ⊥MC ， 可知M 可与E 重合，且点M在以PC为直径的球面上，又M为平面ABCD上的点，故M在以O′为圆心，以O′E为半径的圆上，过O′作FH//AD，通过计算不难得出O′E=√5，O′F=3，故圆O′上的点M到直线AB的最远距离为3+√5，故选：B．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列命题中错误的是()A. 空间中任意两个非零向量a⃗,b⃗ 共面B. 若{a⃗,b⃗ ,c⃗ }是空间中的一个基底，则a⃗,b⃗ ,c⃗中至多有一个零向量C. 直线的方向向量是唯一确定的D. 若a⃗⋅b⃗ <0，则<a⃗,b⃗ >是钝角【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.可由空间向量的相关知识对各选项逐个判断．【解答】解：对于A中，空间中任意两个非零向量a⃗,b⃗ 可以平移到某一个共面内，A正确；对于B中，由{a⃗,b⃗ ,c⃗}是空间中的一组基底，则向量a⃗,b⃗ ,c⃗不共面，则a⃗,b⃗ ,c⃗中没有零向量，B错误；对于C中，.直线的方向向量有无数个，它们方向相同或相反，模可大可小，C错误；,π]，对于D中，若a⃗⋅b⃗ <0，又由⟨a⃗,b⃗ ⟩∈[0,π]，即<a⃗,b⃗ >可以为π，所以⟨a⃗,b⃗ ⟩∈(π2D错误．故选：BCD．10.下列说法正确的是()A. 已知随机变量X∼B(n,p)，若E(X)=30，V(X)=20，则p=23B. 在△ABC中cosB>cosA是A>B的充要条件C. 已知A n3=C n4，则n=27D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为4591【答案】CDB【解析】【分析】本题考查二项分布的期望和方差，二项展开式的特定项的系数，排列数和组合数公式，超几何分布，属于中档题．根据二项分布的期望和方差，二项展开式特定项的系数，排列数和组合数公式，超几何分布逐一判断即可得出答案．【解答】解：对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得E(X)=np=30，V(X)=np(1−p)=20，解得p=13，所以A错误；对于B：∵A，B∈(0,π)，y=cosx在x∈(0,π)时单调递减，∴cosB>cosA⇔B<A，故B正确；对于C：由，得n(n−1)(n−2)=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，解得n=27，故C正确；对于D:设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X=1)=C102C41 C143=4591，故D正确．故选BCD．11.下列有关说法正确的是()A. (12x−2y)5的展开式中含x2y3项的二项式系数为20；B. 事件A∪B为必然事件，则事件A、B是互为对立事件；C. 设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7)，若P(ξ<2)=P(ξ>4)，则μ与Dξ的值分别为μ=3，Dξ=7；D. 安排5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126种．【答案】CD【解析】【分析】本题考查了二项式定理，必然事件和对立事件的概念，正态分布以及两个计数原理的综合应用，属于较难题．对选项ABCD依次进行分析，判断各个命题即可得到答案．【解答】解：对A，(12x−2y)5的展开式的通项为T r+1=C5r(12)5−rx5−r(−2)r y r，包含x2y3项的r=3，其二项式系数为C53=10，故A错误；对B，事件A∪B为必然事件，则事件A，B是互为对立事件，错误，例如在抛掷骰子试验中，事件A表示向上数字大于等于3，事件B表示向上数字为小于等于3，故B错误；对C，设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7)，若P(ξ<2)=P(ξ>4)，则μ=2+42=3，Dξ=σ2=7，故C正确；对D，根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类加法计数原理，可得共有18+36+72=126种，故D正确；综上，说法正确的是CD，故选CD．12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A. B.C. 向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°D. BD 1与AC 所成角的余弦值为√63【答案】AB 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了空间向量的线性、数量积运算，考查了平行六面体的性质，属于中档题． 利用平行六面体的性质，空间向量的线性、数量积运算判定即可． 【解答】解：以顶点A 为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60∘，可设棱长为1，则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos60∘=12， 对于A ，(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+3×2×12=6， 而2AC 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(1+1+2×12)=2×3=6，所以A 正确；对于B ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以B 正确； 对于C ，向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D =60∘，所以向量A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120∘，向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120∘，所以C 不正确； 又BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√3， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，所以cos⟨BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√3=√66，所以D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程y ̂=0.66x +a ，则估计加工70个零件时间为______分钟(精确到0.1)． 【答案】101.7 【解析】 【分析】本题考查了线性回归方程，属基础题．先求出样本中心点，再根据回归直线过样本中心点得a ，从而得回归直线方程，再令x =70代入计算可得． 【解答】 解：x −=15+20+30+40+505=31，y −=65+70+75+80+905=76，∴76=0.66×31+a ，解得a =55.54， 即ŷ=0.66x +55.54， ∴x =70时，y ≈101.7， 故答案为：101.7．14. 已知空间四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =d⃗ ，若MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x b ⃗ +y c ⃗ +z d ⃗ (x,y,z ∈R)，则y =______． 【答案】23【解析】解：如图所示，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CD ⃗⃗⃗⃗⃗=AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +23c ⃗ +13d ⃗ ． ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x b ⃗ +y c ⃗ +z d ⃗ (x,y ，z ∈R)， ∴y =23．故答案为：23．如图所示，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +23c ⃗ +13d ⃗ ，与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x b ⃗ +y c ⃗ +z d ⃗ (x,y ，z ∈R)，比较即可得出．本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3从中任取4张，可排出不同的四位数的个数_____． 【答案】38 【解析】 【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，考查排列、组合的综合应用，解题时注意其中重复的数字，属于中档题．根据题意，按取出数字是否重复分3种情况讨论：①取出的4张卡片中有2个数字重复，则2个重复的数字为1或2；②取出的4张卡片为2张1和2张2；③取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类加法计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①取出的4张卡片中有2个数字重复，则2个重复的数字为1或2， 若重复的数字为1，另两个数字为2、3，有A 42·1=12种情况，若重复的数字为2，另两个数字为1、3，有A 42·1=12种情况，共有12+12=24种； ②若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C 42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数;③取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3中取出1个卡片，有C 21=2种取法，安排在四个位置中，有C 41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出2×4=8个四位数;则一共有24+6+8=38个四位数．故答案为38．16.若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1>0”是假命题，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,1]【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，属于中档题..若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1>0”是假命题，则¬p是真命题，根据a的取值分类讨论，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1>0”是假命题，则∃x∈R，ax2+2x+1≤0为真命题，当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；当a<0时，y=ax2+2x+1是图象开口朝下的二次函数，满足条件；当a>0时，y=ax2+2x+1是图象开口朝上的二次函数，则函数图象与x轴有交点，即Δ=4−4a≥0，解得0<a≤1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1],故答案为(−∞,1]．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：∃x0∈[−1,1]，x02−x0−m≥0是假命题．(Ⅰ)求实数m的取值集合B；(Ⅱ)设不等式(x−3a)(x−a−2)<0的解集为A.若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得命题：“，都有不等式，成立”是真命题，得在−1≤x≤1恒成立，得m>2，即B=(2,+∞)．(Ⅱ)不等式，①当3a>2+a，即a>1时，解集A=(2+a,3a)，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B，∴2+a≥2，此时a∈(1,+∞)．②当3a=2+a即a=1时解集A=⌀，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B成立．③当3a<2+a，即a<1时解集A=(3a,2+a)，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B成立，,1)．∴3a≥2此时a∈[23,+∞)．综上①②③：a∈[23【解析】【试题解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法和充分必要条件在集合中的综合应用．(Ⅰ)分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x2−x)max，求出m的范围．(Ⅱ)通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈B是x∈A的必要不充分条件”即A⫋B，求出a的范围．18.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒子不放球，共有多少种放法？(2)恰有1个盒子内放2个球，共有多少种放法？(3)恰有2个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】解：(1)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C42种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，共有放法：C 41C 42C 21A 22=144种．(2)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒． 因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事． 故也有144种放法.(3)先从四个盒子中任意拿走两个有C 42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”， 从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C 43C 22种放法；第二类：有C 42种放法.因此共有C 43·C 21+C 43=14种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：C 42·14=84种．【解析】本小题主要考查两个计数原理和排列组合的综合应用.两个计数原理是解决这类问题的基础，而排列组合的准确灵活应用是解决这类问题的关键，要分清是排列问题还是组合问题，是分类还是分步，要坚持特殊元素优先和特殊位置优先的原则． (1)要明确“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事； (2)根据第一问的结果求解即可；(3)问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”是关键．19. 设(1+x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，n ≥4，n ∈N ∗.已知a 32=2a 2a 4．(1)求n 的值；(2)设(1+√3)n =a +b √3，其中a ，b ∈N ∗，求a 2−3b 2的值．【答案】解：(1)由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n x n ，n ≥4， 可得a 2=C n2=n(n−1)2，a 3=C n3=n(n−1)(n−2)6，a 4=C n4=n(n−1)(n−2)(n−3)24，a 32=2a 2a 4，可得(n(n−1)(n−2)6)2=2⋅n(n−1)2⋅n(n−1)(n−2)(n−3)24，解得n =5；(2)方法一、(1+√3)5=C50+C51√3+C52(√3)2+C53(√3)3+C54(√3)4+C55(√3)5=a+ b√3，由于a，b∈N∗，可得a=C50+3C52+9C54=1+30+45=76，b=C51+3C53+9C55= 44，可得a2−3b2=762−3×442=−32；方法二、(1+√3)5=C50+C51√3+C52(√3)2+C53(√3)3+C54(√3)4+C55(√3)5=a+b√3，(1−√3)5=C50+C51(−√3)+C52(−√3)2+C53(−√3)3+C54(−√3)4+C55(−√3)5=C50−C51√3+C52(√3)2−C53(√3)3+C54(√3)4−C55(√3)5，由于a，b∈N∗，可得(1−√3)5=a−b√3，可得a2−3b2=(1+√3)5⋅(1−√3)5=(1−3)5=−32．【解析】(1)运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；(2)方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N∗，求得(1−√3)5=a−b√3，再由平方差公式，计算可得所求值．本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．20.为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩(百分制，均为正数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？【答案】解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.020+0.025+0.05)=0.25．补全这个频率分布直方图如下图：=80，(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数为：70+902均值为：45×0.01×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.025×10+85×0.025×10+95×0.005×10=70.5．(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，[90,100)的频率为0.005×10=0.05，[80,90)的频率为0.025×10=0.25，∴估计获奖的同学至少需要的分数为：×10=88(分)．90−0.1−0.050.25【解析】(1)先求出分数在[70,80)内的频率，由此能求出结果．(2)根据频率分布直方图，能估计本次考试成绩的众数和平均数．(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，[90,100)的频率为0.05，[80,90)的频率为0.25，由此能估计获奖的同学至少需要的分数．本题考查样本频数众数、均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．21.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y=x−3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【答案】解：(1)由题设，圆心C在y=x−3上，也在直线y=2x−4上，设切点的横坐标为a，2a−4=a−3，∴a=1，∴C(1,−2)．∴⊙C：(x−1)2+(y+2)2=1，=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx−y+3=0，则√1+k2，…(4分)解得：k=−125x+3，又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=−125即x=0或12x+5y−15=0；(2)设点M(x,y)，由|MA|=2|MO|，化简得：x2+(y+1)2=4，∴点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=√a2+(2a−3)2，∴1≤√a2+(2a−3)2≤3，．解得：0≤a≤125【解析】(1)先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；(2)设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．22.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1上一点．(1)三角形EFC 1是否可以是钝角三角形？说明理由．(2)当FB 1=2FB 时，在棱AB 上找一点M ，使E ，F ，C 1，M 四点共面． 【答案】解：(1)设正方体的棱长为1，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,1,12)，C 1(1,1，1)，设F(1,0，λ)(0≤λ≤1)，则C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,λ−1)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−12)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,λ−12)，C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(λ−1)⩾0，C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+(λ−1)(λ−12)=λ2−32λ+32=(λ−34)2+1516>0，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1−12(λ−12)=−12λ−34<0，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >0， ，，，∴△EFC 1不可能为钝角三角形； (2)由FB 1=2BF 可得F(1,0,13)，设M(x,0，0).E 、F 、C 1、M 共面时，平面AA 1B 1B ∩平面EC 1FM =MF ，平面CC 1D 1D ∩平面EC 1FM =C 1E ，平面AA 1B 1B//平面CC 1D 1D ， ∴MF//C 1E ， ∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴1−x =23， ∴x =13，即当AM =13AB 时，E 、F 、C 1、M 共面．【解析】本题考查了空间向量的数量积，面面平行的性质．(1)分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底建立空间直角坐标系A −xyz ，写出A ，S ，C ，D ，E ，C 1的坐标，计算C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−34)2+1516>0，从而，，，从而得出△EFC 1不可能为钝角三角形；(2)由FB 1=2BF 可得F(1,0,13)，利用面面平行的性质得出MF//C 1E ，进而MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB时，E、F、C1、M共面．从而得出当AM=13。