高二期中考试数学试卷 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ba 11< B ．a 2＞b 2 C ．22+1+1a bc c > D ．a|c|＞b|c2. 在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ． 等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形3. 在数列}{n a 中，设32,211+==+n n a a a ，则通项n a 可能是（ ）． A ．53n - B. 1321n -⋅- C.253n - D. 1523n -⋅-4. 如右图所示，一个空间几何体的主（正）视图和左（侧）视图 都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆, 那么这个几何体的表面积为 （ ）A ．π3B ．π2C ．π23 D ．π45．不等式组221030x x x ⎧-<⎨-≥⎩的解集是（ ）A ．{}11x x -<< B. {}13x x <≤ C. {}10x x -<≤ D.{}31x x x ≥<或 6. 在等差数列}{n a 中，已知4,184==S S 设17181920=S a a a a +++则=S （ ）A ．8B ．9C ．10D ．117.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且塔该形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A. 4B.5.C.6D.78. 公比为整数的等比数列}{n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．82259．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB AC ⊥，2SB AC ==， E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长度是（ ） A ．1 B 2 C 2 D ．12主视图俯视图左视图10. 正方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则1A E 与BD 所成的 角的余弦值（ ） A．35 B ．3010 A ．34A ．77 11．在△ABC 中，2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式AC BC t BA ≥-恒成立，则实数t的取值范围是 ( )A ．[)∞+，1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，C ．(][)∞+⋃∞-，，10D ． [)∞+⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-，，12112. 已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． 则直线DP 与平面PAE 所成的角．A ．30B ．45C ．60D ．90二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2223b c bc a ++=，则∠A=14设数列}{n a 的前n 项和为21n S n =+如果12231111n n n P a a a a a a +=+++则n P = 15.已知三个不等式： ①0ab >, ○2cdab-<-, ○3.bc ad >(其中a,b,c,d 均为实数) 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，那么一定可以组成__ __个正确的命题. 16．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ． 其中正确命题的序号是 ．17．已知不等式2340x x --<的解集为A ，不等式2450x x +-<的解集为B ，（1）求A B ⋃；（2）若不等式20cx ax b ++<的解集是A B ⋃，求20ax cx b ++<的解集.18.已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径为2，且cos (2)cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆面积的最大值19. (12分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)3n n S a =-， （1）求1a ，2a 及3a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 。
20. 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：每张钢板的面积,第一种为21m ,第二种为22m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？21. 已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=，2AB PB PD ===，PC =，AC 与BD交于O 点，E，H 分别为PA ，OC 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD ； （III ）求二面角B PA D --的大小C22. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，数列{}n b 为等比数列，且 211==b a ，225b S =，3425b S =。
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式n a 及n b ；（2）设数列{}n c 满足n n n b S c ⨯=，问当n 为何值时，n c 取得最大值？（3）设数列{}n d 满足n n n b a d ⨯=，其前n 项和为n T ，求n T 。
17、（1）解：解不等式2340x x --<，得{14}A x x =-<< 解不等式2450x x +-<，得{51}B x x =-<<{54}A B x x ∴⋃=-<< （6分）（2）由20cx ax b ++<的解集是（－5,4）∴54540ac bc c ⎧-=-+⎪⎪⎪=-⨯⎨⎪>⎪⎪⎩， （8分） 从而可得1200ca ba a ⎧-=-⎪⎪⎪=-⎨⎪<⎪⎪⎩（10分）20ax cx b ∴++<解得解集为{54}x x -<< （12分）18.解：（1）由cos (2)cos b C a c B =-及正弦定理得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B =-=-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B ∴+=sin()2sin cos B C A B ∴+=。
① 又A B C π++=∴由①得1cos 2B =3B π∴=（6分）（2）113sin 44sin sin 222S ac B A C ==⨯⨯⨯ 2243sin()sin 33143(cos sin sin )223sin 23cos 2323sin(2)36C C C C C C C C ππ=-=-=+-=+- 20,3sin(2)16C C ππ<<∴+≤2333S ∴≤-= （12分）19.解：（1）1(1)3n n S a =-1112212331(1)31(1)31(1)3a a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪∴+=-⎨⎪⎪++=-⎪⎩解得121111,,248a a a =-==- （5分）（2）当2n ≥时，111111(1)(1)()333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=- 112n n a a -∴=- {}n a ∴为等比数列 （10分1(1)2nn na ∴=- （12分） 20.解：设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,所用钢板面积为2zm ,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0,273,152,12y x y x y x y x作出可行域(如图)目标函数为2z x y =+作出一组平行直线2x y t += (t 为参数).由32612x y x y +=⎧⎨+=⎩得(5,7)A ,min 42862720z ∴=+⨯=+⨯=。
（12分）21.解：（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ．又EO ⊂平面BDE ,PC ⊄平面所以PC ∥平面BDE ．(6分) （Ⅱ）证明：连结OP ， 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥， 又因为OPAC O =，所以BD ⊥平面PAC ．（12分）22. （1）解：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。
则 d d a S d a S 682344,21412+=⨯+=+=，q b 22=,232q b = 从而由 225b S =，3425b S =得：⎩⎨⎧=+=+25068104q q qd 消去d 得，0830252=+-q q ，解得：54=q 或52=q 。
代入得 4=d 或0=d ，因为0≠d ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==520q d 舍去。
所以 ⎪⎩⎪⎨⎧==544q d所以 244)1(2-=-+=n n a n ，11)54(22--==n n n q b （ 6分）（2）142(42)()5n n n n c a b n -==- 214444[135()(21)()]555n n T n -=+⨯+⨯++-…………………….①CB A23444444[3()5()(21)()]55555n n T n =+⨯+⨯++-……………….②①-②得231111444444[122()2()2()(21)()]55555584(1())4554[1(21)()]45154420[98()(21)()]55n n n n n n n n T n n T n ---=+⨯+⨯+⨯++---=+---∴=-⋅--（12分）。