概率论第五章习题解答（科学出版社）1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。

解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2,,16i =，则161i i X X ==∑，因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ===于是随机变量161616001600400iiXn XX Z μ-⨯--===∑∑近似的服从(0,1)N160019201600{1920}{}400400X P X P -->=>1600{0.8}400X P -=>16001{0.8}400X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=.2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2,,50i =（以千美元计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。

解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为100001ii X X==∑又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率{2700000}1`{270000}P X P X >=-≤10000128010000270000028000001{}80010080000ii XP =-⨯-=-≤⨯∑1000012800000101{}800008ii XP =-=-≤-∑ 10000128000001{1.25}80000ii XP =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N即 {2700000}1( 1.25)P X >=-Φ-(1.25)0.8944=Φ= （2）{300}1{300}P X P X >=-≤505051iXP -⨯=-≤∑505051iXP -⨯=-≤∑505051 2.89}iXP -⨯=-≤∑1(2.89)=-Φ10.99810.0019=-=3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解 设每个加数的舍入误差为i X ，1,2,,1500i =，由题设知i X 相互独立同分布，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而0.50.5()02i E X -+==，2(0.50.5)1()1212i D X +==(1)、记15001i i X X ==∑，=(0,1)N ，从而 {||15}1{|P X P X >=-≤1{151P X =--≤≤1P =-≤≤1[(=-Φ-Φ2(1=-Φ2(1(1.34))=-Φ2(10.9099)0.1802=-=。

（2）、记1nii X X==∑，要使 {||10}0.90P X <≥，由独立同分布的中心极限定理，近似地有{||10}{1010}P X P X <=-<<P =<<210.90=Φ-≥ 即0.95Φ≥，查表得(1.64)0.95Φ= 令1.64=，解得 443n =。

即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。

4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，圴方为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？ 解 设每只零件的重量为i X ，1,2,,5000i =，由独立同分布的中心极限定理知50000.55000iX-⨯∑(0,1)N则 {2510}1{2510}P X P X >=-≤50000.550001iXP -⨯=-≤∑50000.550001iXP -⨯=-≤∑ 101()1(1.414)7.07=-Φ=-Φ＝1－0.9207＝0.0793。

5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m 的概率。

解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m 的根数记作X ，则X 是随机变量X ，且(100,0.8)X b ，其分布律为100100{}0.80.2kk k P X k C -==⨯，0,1,2,,100k =所求的概率为 {70}P X <由德莫弗――拉普拉斯定理可求它的近似值{70}P X P <=<P =<805{}42X P -=<- 51()10.99380.00622≈-Φ=-=。

6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需要的时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。

现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。

解 设修理第i （1,2,,20i =）台机器，第一阶段耗时i X ，第二阶段为i Y ，则共耗时为i i i Z X Y =+已知因为指数分布的数学期望为θ，方差2θ，即()0.2i E X =，()0.3i E Y =，2()0.2i D X =，2()0.3i D Y =，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故()()()()0.20.30.5i i i E Z E X Y E X E Y =+=+=+=22()()()()0.20.30.13i i i i i D Z D X Y D X D Y =+=+=+=20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即202020()200.5(10,2.6)ii iZE Z ZN --⨯=∑∑∑而所求概率 201{0.8}i i p P Z ==≤∑0≈Φ2()( 1.24)1.6125-=Φ=Φ=Φ-1(1.24)10.89250.1075=-Φ=-=即不大可能在8小时内完成任务。

（因为完成任务的可能性不到20%）7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5。

若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率。

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

解 设第i 格为为i X （1,2,,300i =），其分布律由此得()10.31.20.21.5i E X =⨯+⨯+⨯=（即平均收入） 2()10.3 1.440.2 2.250.5 1.713i E X =⨯+⨯+⨯= 222()()(()) 1.713(1.29)0.0489i i i D X E X E X =-=-=以X 表示总收入，即3001ii X X==∑，由独立同分布中心极限定理，得300300300 1.29387(387,14.67)iiXXN -⨯-=∑∑则收入超过400元的概率为 30030011{400}1{400}ii i i P XP X ==≥=-<∑∑3003871iXP -=-<∑1=-Φ131()1(3.39)3.83=-Φ=-Φ 10.99970.0003=-=。

（2）以Y 记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕数，于是(300,0.2)Y b ，()3000.260E Y =⨯=（出售这种蛋糕的平均只数），()3000.20.8 4.8D Y =⨯⨯= (二项分布的方差)售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为{60}1{P Y P Y >=-≤1P =-≤= 1(0)10.50.5=-Φ=-=（即有50%的可能售出60只价格为1.2元的蛋糕。

）8、（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。

（2）一个复杂系统由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问n 至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95。

解 （1）设正常工作的部件数为10i X ⎧=⎨⎩，第i 个部件在整个运行期间工作，第i 个部件在整个运行期间损坏（0,1,2,,100i =），由题设知i X （0,1,2,,100i =）相互独立，且{1}0.9i P X ==，{0}0.1i P X ==，设1001i i X X ==∑，则(100,0.9)Xb 。

似地服从正态分布(0,1)N ，从而 {85}1{85}P X P X ≥=-<1P =-<551()()(1.67)0.952533=-Φ-=Φ=Φ=（2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为X ，则X 是一个随机变量，且(,0.1)Xb n ，由于当有20%的部件不工作时系统就不能工作，因此若设0.2N n=（取整数），则当正常工作的部件数N ≤时，系统就不能正常工作。

根据德莫弗――拉普拉斯定理{}P X N P ≤=<P =<10.950.05=Φ=-=查表得 (1.65)0.95Φ=（由标准正态分布的对称性。

）， 由于0.2N n =（取整数），故可以认为0.10.1N n n -=， 令1.65==，有4.95=，24.5n =即 当n 至少为25时，才能使系统的可靠性不低于0.959、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4（1）以X 表示一年（以52周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求X 的近似分布，并求{2}P X <。

（2）求一年事故数小球100的概率。

解 （1）设该十字路口第i 周发生事故次数为i X ，则i X （0,1,2,,52i =）是相互独立的随机变量，已知 () 2.2E X μ==，标准差 1.4σ==，则方差 221.4 1.96σ==，于是i X 服从正态分布2(2.2,1.4)N ，由中心极限定理， 221.4(,)(2.2,)52XN N nσμ=。

（见教材P122之（2.3）式）。