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高中数学复合函数常考题型2018高三专题复习-函数

高中数学复合函数常考题型
2018高三专题复习-函数(2)
复合函数常考的题型有:
(1)求解定义域问题
(已知f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域;已知[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域; 已知[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域)遵循等位等效性原则。

(2)判定函数单调性问题:
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( )上是减函数,其值域为(c ,d),又函数 )(u f y =在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( )上是增 函数.遵循同增异减原则。

一、复合函数定义域问题:
(1)、已知f x ()的定义域,求[]f g
x ()的定义域 例1. 设函数f u ()的定义域为(0,1),则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析:函数f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01
<<l n x 解得x e ∈()1,,故函数f x (ln )的定义域为(1,e )
例2. 若函数f x x ()=+11
,则函数[]f f x ()的定义域为______________。

答案:{}
xR x x ∈≠-≠-|12且 (2)、已知[]f g
x ()的定义域,求f x ()的定义域 思路:设[]f g x ()的定义域为D ,即x D
∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用范围为E ,又f 对x 作用,作用范围不变,所以x E
E ∈,为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12,,则函数f x ()的定义域为_________。

解析:f x ()32-的定义域为[]-12,,即[]x ∈-12,,由此得[]
3215-∈-x , 所以f 的作用范围为[]-15,,又f 对x 作用,作用范围不变,所以[]x ∈-15,
即函数f x ()的定义域为[]-15,
例4. 已知f x x x ()l g 2
2248-=-,则函数f x ()的定义域为______________。

答案:()4,+∞
(3)、已知[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域
思路:设[]f g x ()的定义域为D ,即x D
∈,由此得g x E ()∈,f 的作用范围为E ,又f 对h x ()作用,作用范围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈
,F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11,,则f x
(l o g )2的定义域为____________。

解析:f x ()2的定义域为[]-11,,即[]x ∈-11,, 由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥,f 的作用范围为122,⎡⎣⎢⎤⎦
⎥ 又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥,,解得[]
x ∈24, 即f x (l o g )2的定义域为[]
24,。

二、复合函数单调性问题
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( )上是减函数,其值域为(c ,d),又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( )上是增函数.
例、证明:在区间b a ,()内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21
因为)(x g u =在区间b a ,()上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数,所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <, 故函数))((x g f y =在区间b a ,()上是增函数.
复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增,异向得减”或“同增异减”. 复合函数))((x g f y =的单调性判断
例1、 求函数)32(log 22
1--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明
解:定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则
)32(log 121211--=x x y )32(l o g 22
2212--=x x y
---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x
∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x
∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数12
10<<
∴012<-y y 即 12y y <
∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证:y 在)1,(--∞上是增函数 例2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.
[解]由01232>--x x 得函数的定义域为}.3
1,1|{-<>x x x 或 则当1>a 时,若1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3
1-<x ,∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时,若1>x ,则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数,
若3
1-<x ,则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 例3、.已知y=a log (2-x a )在[0,1]上是x 的减函数,求a 的取值范围. 答案:0<a<1或1<a <2例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f (a 为负整数)的图象经过点R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数?并证明你的结论。

[解析]由已知0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a , 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a
∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==,
∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0(<p p ,使得)(x F 满足条件,设21x x <,
∴].12)()[()()(22
21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,
∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022
212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x ,∴11612)(22
21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①
当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F
∵02221>-x x ,∴11612)(22
21--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p .
② 由①、②可知161-=p ,故存在.16
1-=p
针对性课堂训练
一、复合函数定义域问题部分
1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2的定义域。

答案:]1,1[-
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域。

答案:]9,3[-
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域。

答案:)23,1()0,21(⋃-
二、复合函数单调性问题:
1、函数y =2
1log (x 2-3x +2)的单调递减区间是( )
答案(2,+∞)
2、找单调区间. (1))1(232>=++-a a y x x ; (2).2322++-=x x y
答案:(1)在]23,(-∞上是增函数,在),2
3[+∞上是减函数。

(2)单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[。

3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。

答案:,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数。

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