《函数》知识要点和基本方法1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。

若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m个映射。

2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。

此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ⊆B 。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)< f(x 2)(或f(x 1)>f(x 2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x 1、x 2是给定区间内的两个任意的值，且x 1<x 2；第二步：作差f(x 2)-f(x 1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x 2)-f(x 1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)； 偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

12.①若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0，常用于待定系数； ②偶函数f(x)满足f(x)=f(|x|)；③定义域关于原点对称且函数值恒为0的函数既是奇函数又是偶函数。

13.①奇函数的图象关于原点对称，反之，图象关于原点对称的函数是奇函数； ②偶函数的图象关于y 轴对称，反之，图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③关于原点对称的区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

14.函数图像变换：①平移变换：形如y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a |个单位，就得到y=f(x+a)的图象；形如y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位，就得到y=f(x)+a的图象。

②对称变换：y=f(x)→ y=f(-x),关于ｙ轴对称；y=f(x)→ y=-f(x) ,关于ｘ轴对称。

③翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|), (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称。

15.反函数：f(a)=b a=f-1(b)。

原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域。

17.求反函数的步骤：①求反函数的定义域（即y=f(x)的值域）；②将x,y互换，得y=f-1 (x)；③将y=f(x)看成关于x 的方程，解出x=f-1(y)，若有两解，要注意解的选择。

18.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称；19.原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点。

20.原函数与反函数在对称区间上具有相同的单调性；奇函数的反函数仍为奇函数。

21.在定义域上单调的函数一定具有反函数；反之，并不成立（如y=1/x）。

22.复合函数的定义域求法：①已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)∈A，求得x的取值范围即可。

②已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令x∈A，求得g(x)的函数值范围即可。

23.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，在u∈A的情况下,求出y=f(u)的值域即可。

24 .复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。

增增、减减为增；增减、减增才减（同增异减）。

①f(x)与f(x)+c (c为常数)具有相同的单调性；②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性；③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性；④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性；⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数。

⑥设f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f (x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数。

25.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析。

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得。

26.一元二次方程实根分布问题解法：①将方程的根视为二次函数的图像与x 轴交点的横坐标；②从抛物线开口方向、对称轴、判别式、区间端点函数值等方面分析限制条件。

27.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法：①确定定义域渐近线x=-d/c ；②确定值域渐近线y=a/c ；③根据y 轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。

28.指数运算法则：(a>0,b>0,m,n ∈R)①a m •a n =a m+n ； ②a m ÷a n =a m-n ； ③(a m )n =a mn ； ④nnn ba b a =)(； ⑤(ab)n =a n •b n。

化为质因数的幂的形式、化根式为分数指数幂、化负指数幂为正指数幂等都是指数运算的常用方法。

29.对数的定义及对数式及指数式之间的相互转化关系：a b=N ⇔b=log a N(其中a>0且a ≠1,N>0)。

特别地，常用对数(以10为底的对数)：log 10N=lgN ；自然对数(以无理数e ≈2.71828为底的对数)：log e N=lnN 。

①负数和零没有对数；②1的对数是零，正数本身的对数是1。

即log a 1=0，log a a=1(a>0且a ≠1)；③对数恒等式：N a N log a =(a>0且a ≠1)。

30.对数运算法则：（1）log a (M •N)=log a M+log a N ； （2）log a (M/N)=log a M-log a N ； （3）log a M n=nlog a M ； （4）M log nM log a n a 1=； （5）M log n M log a an1=； （6）M log n m M log a n m a =；（7）M log nm M log a m an=； （8）a log Mlog M log b b a =(换底公式)； （9）log a b •log b a=1；（10）alog b log b a 1=。

这里a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，且M>0,N>0，m,n ∈N *,n>1。

为基本公式31.指数函数、对数函数的图像与性质：32.比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

33.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：①f(x1＋x２)=f(x１)+f(x２)：正比例函数f(x)=kx(k≠0)；②f(x1＋x２)=f(x１)·f(x２)；f(x1-x２)=f(x１)/f(x２)：指数函数y=a x；③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)；f(x1/x２)=f(x１)-f(x２)：对数函数y=log a x；④f(x1•x2)=f(x1)•f(x2)；f(x1/x２)=f(x１)/f(x２)：幂函数y=x a。

34.如果f(a+x)=f(b-x)成立，则y=f(x)图像关于x=(a+b)/2对称；特别地，f(x)＝f(-x)成立，则y=f(x)图像关于y 轴对称。

如果f(a+x)=f(b+x)成立(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，2|a-b|是它的一个周期；两个函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的图象关于直线2ab x -=对称。

35.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)的最大值；a<f(x)恒成立⇔a<f(x)的最小值；a>f(x)恒有解⇔a>f(x)的最小值；a<f(x)恒有解⇔a<f(x)的最大值；a=f(x)恒有解⇔f min(x)≤a≤f max(x)。

【题型1】映射与函数的概念问题映射与函数的概念是学习函数的基础，应予以充分重视。

例1.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x,y)|x ∈R,y ∈R}，映射f:A →B 使集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，(2,1)的原象是（ ）A.（3,1） B.（23,21） C.（23,-21） D.（1,3） 例2.下列各组函数中，是同一函数的是（ ）A.y=1与y=x 0B.y=log a x 2与y=2log a x （其中a>0且a ≠1） C.1+=x y 与44)1(+=x y D.x log a a y =与x a a log y =(其中a>0且a ≠1) 【题型2】函数的定义域问题1.已知函数解析式，求函数定义域 例3.求下列函数定义域：（1）y=lg(1-tanx)； （2）x x x y --++=21132。