（3）若直线
l
的斜率不存在时，四边形
ABED
是矩形，此时
AE
与
BD
交于
F2G
的中点
(5 2
, 0)
．下面证明：
当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T ( 5 , 0) ．
2
设直线 l 的方程为 y k(x 1) ，与椭圆方程联立化简得 (3 4k2 )x2 8k2x 4k2 12 0 ．设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，
（3）设点 A ， F2 ， B 在直线 x 4 上的射影依次为点 D ，G ， E ．连结 AE ， BD ，试问：当直线l 的倾斜
角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T ？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由．
分析：（1）由题意知 b
3．c a12，可得b a
3 2
2019 年江苏省天一中学十二月份调研考试
高三数学理科（Ⅰ）试题
2019.12
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页包含填空题（第 1~14 题）、解答题（第 15~20 题）.本卷满分为 160 分，
考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷
页
3第
所以 cos
5 5
，从而
sin
1 cos 2 2 5 ． 5
于是 sin( ) sin
cos
cos sin
10 ( 5 ) 3 10 2 5 2 ．
10
5 10 5 2
因为 为锐角， 为钝角，所以 ( ， 3 ) ，
22
从而 3 ．
4
16. （本小题满分 14 分）
则实数 a 的值为 ．
答案：1 ln2
页
2第
2e ln x, x 0
13.已知函数
f
(x)
x3
x, x
0
，若函数
g(x)
f
(x) ax2
有三个不同的零点，则实数
a
的取值范围是
_____.
答案： (0,1) U{2}
14. 在锐角三角形 ABC ， AD 是边 BC 上的中线，且 AD AB ，则 1 1 1 的最小值为 ．
半球体部分每平方米建造费用为 2 千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用 为 3 千元设所有帐篷的总建造费用为 y 千元．
（1）求 y 关于 r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径 r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.
分 析 : （ 1 ） 由 图 可 知 帐 篷 体 积 半 球 体 积 圆 柱 体 积 ， 即 2 r3 r2h 54 ， 表 示 出 h ， 则
SVF1 AF2
1 2
(|
AF1
|
|
AF2
|
|
F1F2
|)gr
2a 2c
ac
3
（3）若直线 l 的斜率不存在时，四边形 ABED 是矩形，
此时
AE
与
BD
交于
F2G
的中点
(5 2
, 0)
．
下面证明：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T (5 , 0) ．
2
设直线 l 的方程为 y k(x 1) ，
所以由任意角的三角函数的定义可知 sin
10 ． 10
从而 cos 1 sin 2 3 10 ． 10
（1） cos( 3 ) cos cos 3 sin sin 3 ，
4
4
4
3 10 ( 2 ) 10 2 5 ．
10
2 10 2 5
（2）因为钝角 的终边与单位圆 O 交于点 B ，且点 B 的横坐标是 5 ， 5
y k(x 1)
联立
x
2
y2
化简得 (3 4k2 )x2 8k2 x 4k2 12 0 ．
4 3 1
因为直线 l 经过椭圆 C 内的点 (1, 0) ，所以△ 0 ．
设
A(x1 ，
y1) ，
B(x2 ，
y2 ) ，则 x1
x2
8k 2 3 4k2
， x1x2
4k2 12 3 4k2
tan A tan B tan C
答案： 13 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤
15. （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 的终边与单位圆 O 交于点 A ，且点 A 的纵
品．则样本中次品件数为 ．
页
1第
答案：200 6. 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 ． 答案：8 7.若抛物线 y2 2 px ( p 0) 的焦点恰好是双曲线 x2 y2 1的右焦点，则 p ____．
54 答案为：6
8. 已知函数 f (x) 3 sin(2x ) cos(2x )(0 ) 是定义在 R 上的奇函数，则 f ( ) 的值为 ．
OD / / A1B ，
Q 点 E ， F 分别是 BB1 ， A1B1 的中点， EF / / A1B ，
EF / /OD ，
Q EF 平面 ADC1 ， DO 平面 ADC1 ．
页
4第
EF / / 平面 ADC1 ． 17. （本小题满分 14 分）
某市有一特色酒店由 10 座完全相同的帐篷构成（如图1) ．每座帐篷的体积为 54 m3 ，且分上下两层，其中 上层是半径为 r(r…1)（单位： m) 的半球体，下层是半径为 rm ，高为 hm 的圆柱体（如图 2) ．经测算，上层
r
33
3
，所以定义域为 {r
| 1„
r
33
3} ，
（2）设
f
(r)
r2
54 r
， 1„
r
33
3
，则
f
(r)
2r
54 r2
，令
f
(r)
0 ，解得 r
3
，
当 r [1， 3) 时， f (r) 0 ， f (r) 单调递减；
当 r (3 ， 33 3) 时， f (r) 0 ， f (r) 单调递增， 所以当 r 3 时， f (r) 取极小值也是最小值，且 f (r)min 1620 ． 答：当半径 r 为 3m 时，建造费用最小，最小为1620 千元．
坐标是 10 ． 10
（1）求 cos( 3 ) 的值；
4
（2）若以 x 轴正半轴为始边的钝角 的终边与单位圆 O 交于点 B ，且点 B 的横坐标为 5 ，求 的值． 5
分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．
（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．
解：因为锐角 的终边与单位圆 O 交于点 A ，且点 A 的纵坐标是 10 ， 10
1. 设全集U {x | x 5, x N*} ，集合 A {1 ， 3}， B {3 ， 4} ，则 CU (A U B) _____.
答案：{2} ，
2. 已知 i 是虚数单位，若复数 z (1 2i)(a i) 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 ．
答案： 3
3. 函数 f (x) x log2(1 x) 的定义域为_____. 答案： [0,1)
．
由题意，得 D(4, y1) ， E(4, y2 ) ，则直线
CC1 ABC ， AD CC1 ，
I Q C1D CC1 C1 ， AD 平面 BCC1B1 ，
AD BC ， D 为 BC 的中点． （2）连结 AC1 ， A1C ，交于点 O ，连结 DO ， A1B ，
Q 正三棱柱 ABC A1B1C1 中， ACC1A1 是矩形，O 是 A1C 的中点，
如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 在棱 BC 上， AD C1D ，点 E ， F 分别是 BB1 ， A1B1 的中点．
（1）求证： D 为 BC 的中点；
（2）求证： EF / / 平面 ADC1 ．
分析：（1）推导出 CC1 ABC ，AD CC1 ，从而 AD 平面 BCC1B1 ，进而 AD BC ，由此能证明 D 为 BC 的中点．
y2 ) ，由题意，得
D( 4,y1
)，
E(4, y2 )
，则直线
AE
的方程为
y
y2
y2 y1 4 x1
(x 4)
．令
x
5 2
，此时
y
y2
y2 y1 4 x1
(5 2
4) ，把根与系数关系代入可得
y
0
，因此点 T ( 5 , 0)
2
在直线
AE
上．同理可证，点
T ( 5 , 0) 在直线 BD 上．即可得出结论．
4. 从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案： 2
3
5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根 据标准，单件产品质量在区间[25 ， 30) 内为一等品，在区间[20 ， 25) 和[30 ， 35) 内为二等品，其余为次
2
解：（1）由题意知 b
3
．因为
c a
1 2
，所以
b a
3 2
，解得
a
2，
所以椭圆 C 的方程为： x2 y2 1 ． 43