刚体平动 质点运动
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
四、角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r
2
n
r
v
v
r
a
r
五、力矩
z
M Or
d
F
P
M Fd Frsin d: 力臂
FM对 转r轴
z F
的力矩
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为
平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
➢ 刚体的平面平行运动 .
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
二、 刚体定轴转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
r约沿定逆时针方向转动 > 0 r 沿逆时针方向转动 < 0
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
1 l cos
2
mg
例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图
所示。设滑轮的质量为m ，半径为r。绳与滑轮之间无 相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。
一、刚体的运动：
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体 . 刚体可视为特殊的质点系，即任意两质点间距 离始终保持不变的特殊质点系。
刚体的基本运动形式：平动、转动 、平面平行运动.
平动：若刚体中所有的 点的运动情况都完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线在运动过程中总是 保持方向不变 .
Rd
m d
R
例 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dI r 2dm 2 πr3dr
I R 2 πr3dr π R4
相距为 的转d 轴的
转动惯量
IO IC md 2
注意
d
C
O
m
z
y
I
Iy
x
ry
Ix x
I r2dm (x2 y2 )dm Ix I y
V
V
y
l sin
m l0
dl
l
x
y
m l0
l0 / 3
l0 / 3
l0 / 3
x
例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的 转轴的转动惯量。设圆环的半径为R，质量m均 匀分布在圆环上。
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示. 角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每任一 一质 质点 点均 运作动圆周,运动, ，均圆相面同为，转但动v平, 面a 不；同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
2
2
2
例题 求质量为m、长为Ｌ的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。
Ｘ x
dx
Ｘ x
dx
hC
Ｘ
x dx
平行轴定理
质量为 m 的刚
体，如果对其质心轴
的转动惯量为 IC ，
则对任一与该轴平行，
0
2
而 m π R2
所以 I 1 mR2 2
例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定
轴转动的转动惯量。
Z
R2 z2
dz
z
R
x
例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
z
M
O
r
d
F
P
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
z
Fi
r5
mi m5
➢ 质量离散分布系统的转动惯量
I miri2 m1r12 m2r22
i
r dm
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
I r2dm
dm ：质量元
计算转动惯量: am
mm
m
m
m
a m
m a
y 2 3a 2
2 2a 2
a
2a 2
a
a
x
I m( 2 a)2 m( 2 2a)2 m( 2 3a)2
三、 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 02 2 ( 0 )
O ri
mi
M I
M I
M I
对比
F ma
I miri2
i
转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动 惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小， 则刚体的转动惯性小。
转动惯量一般与两个因素有关：
（1）转动轴的位置；
（2）转动刚体的质量；
m3 r3 m4 r4
r2
m2
r1 m1 ri