3 关于最佳接收的准则
在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是 “最小差错概率”准则
原因
在通信中，由于噪声和畸变的作用，使接收发生 错误，我们总期望错误接收的概率越小越好
由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的 干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是
判决空间的所有状态都可能出现。
以二进制数字通信系统为例分析其原理
2 n
n i 1
k 2 i
是噪声的方差，即功率
信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的 观察波形为
y (t ) = n(t ) + s(t )
由于n(t)是均值为零， 方差为σ2n的高斯过程，则当 出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为
1 f si ( y ) exp k ( 2 n ) n0 1
若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则 它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是 统计独立的 根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独 立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维 概率密度函数的乘积，即
f k (n1 , n2 ,
, nk ) = f (n1 ) f (n2 )
f (nk )
消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别 代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的 集合
在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合
为
X={x1, x2, …, xm}
若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的 出现概率为P(xi)， 则消息X的一维概率分布为 X1 x2 … xm P(xm)
（e) 图9.2.2 匹配滤波器的冲激响应
t
（三）匹配滤波器的输出波形s o (t ) 匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积：
so (t ) s (t ) h(t ) s ( )h(t )d

k s ( )s[t0 (t )]d

2

j 2ft0 2
df

H ( f ) df
2
n0 2



H ( f ) df
2
2 n0



S ( f ) df
2
2E n0
根据许瓦兹不等式等号成立的条件可知，瞬时信噪比 2E 的条件是 达最大值 rf )e

j 2ft0

t0时刻输出信号的瞬时功率为： so (t 0 )
2



S ( f ) H ( f )e

j 2ft0
2
df
输出噪声的平均功率为：
n0 n0 2 N o Pno ( f )df H ( f ) df 2 2



H ( f ) df
2
在时刻t0上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均 功率的比值为：
2


2

A( f ) B( f )df
A( f ) df B( f ) df


2

2
A( f ) H ( f )
B( f ) S ( f )e j 2ft0
r0



S ( f ) H ( f )e n0 2
j 2ft0
2
df





H ( f ) df S ( f )e

T
0
[ y (t ) si (t )]2 dt
(i 1, 2,..., m)
fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据
根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作 出判决， 判决空间中可能出现的状态r1, r2, …, rm与信 号空间中的各状态s1, s2, …, sm相对应。
将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，
通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对
应的关系，即消息xi与信号si(i=1, 2， …， m)相对 应。 这样，信号集合S也由m个状态所组成 即 S={s1, s2, …, sm}
并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状 态出现概率相等，即
P( s1 ) = P( x1 ) P( s2 ) = P( x2 ) . . . P(sm ) = P( xm )
f s1 ( y ) P ( s 2 ) f s2 ( y ) P ( s1 ) f ( y) P(s 2 ) s1 f s2 ( y ) P ( s1 )
判为 1 判为 2
当 P(s1 ) P(s2 ) 时，得到的最大似然准则为
f s1 ( y ) f s2 ( y ) 判为 1 f s1 ( y ) f s2 ( y ) 判为 2
因此h(t ) kS( f )e j 2f (t t ) df ks(t 0 t )
0

s (t )
（a)
t1
s(t )
t2
t
（b)
t2
t1 s (t 0 t )
t
t0 t2
t
（c)
s (t 0 t )
（d)
t0 t2
t
s (t 0 t ) t0 t 2
对于多进制情形，假定先验等概，最大似然准则 可表示为
f si ( y) f s j ( y) 判为 i (i，j 1 ， 2， ，m； i j )
4 匹配滤波器
数字信号最佳接收的概念：能使误码率最小的 接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接 收机。 理论和实践都已证明：在白噪声干扰下，如果线性滤 波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪 声平均功率之比值达到最大，就可以使判决电路出现 错误判决的概率最小。这样的线性滤波器称为匹配滤 波器。所以匹配滤波器是最大输出信噪声比意义下的 最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足 最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波 器接收机。
构，然后再分析其性能。
2 数字信号接收的统计表述
带噪声的数字信号的接收，实质上是一个统 计接收问题， 也可以说数字信号接收过程是一个统计判决 过程。从统计学的观点来看，数字信号接收 可以用一个统计模型来表述.
消息空间
信号空间
观察空间
判决空间
x
s

y
判 决 规 则

n
噪声空间
数字信号接收的统计模型
So ( f ) S ( f ) H ( f )
求付氏反变换可得到输出信号
so (t ) S ( f ) H ( f )e j 2ft df

输出噪声的功率谱密度为
n0 2 Pno ( f ) Pn ( f ) H ( f ) H( f ) 2
2
j 2ft0 s ( t ) S ( f ) H ( f ) e df t0时刻的输出信号值为 o 0
匹配滤波器的传输函数 H ( f ) 是冲激响应h(t ) 付氏变换，所以：
H ( f ) F[h(t )] k 0 S a (f 0 )e jf 0
H ( f ) kS ( f )e j 2ft0 k 0 S a (f 0 )e jf 0 e j 2ft0 k 0 S a (f 0 )e jf 0
问题
二进制数字通信系统，在噪声背景下按何种方法接 收信号才能获得最小错误概率？
思路
先找出每一次判决总的平均错误概率
y0
Pe P(s1 )
y0
f s1 ( y)dy P(s2 ) f s2 ( y)dy

然后用求极值的方法，使 Pe 满足
Pe 0 y 0
找到最佳划分点，可得似然比准则为
同时也有
p( s ) 1
i 1 i
n
若消息各状态出现的概率相等， 则有
P(s1 ) = P(s2 ) =
= P(sm )
P(si)是描述信号发送概率的参数 通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数据
信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高 斯噪声。
在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概
f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数
若ni的均值为零，方差为σ2n，则其一维概率密度函数为
f ( n) ( x )2 exp 2 2 n 2 n 1
噪声n的k维联合概率密度函数为
1 f k ( n) exp 2 k ( 2 n ) 2 n 1
so (t 0 ) kRs (0) k s 2 ( )d kE

这个结果再次说明，在 t 0时刻之前，匹配滤波器对
输入信号进行处理，从而在 t 0 时刻形成输出信号的峰值。
例1已知信号s (t )如下图(a)所示，求与之匹配的 匹配滤波器的传输函数和匹配滤波器的输出信号波形。
r0 s o (t 0 ) No
2




S ( f ) H ( f )e j 2ft0 df n0 2
2



H ( f ) df
2
为上式的最大值，需要使用许瓦兹不等式：


2

A( f ) B( f )df
A( f ) df B( f ) df


2

2
只有当A( f ) 和 B ( f ) 成正比时，即 A( f ) kB ( f ) 时，上式 中等号成立， A( f )B( f )df 达到最大，为
数字信号的最佳接收
一、引言 二、数字信号接收的统计表达式 三、最佳接收的准则 二、匹配滤波器