二次函数基础定义知识点一：二次函数的定义形如)0(2≠++=a c bx ax y 【注意：二次项的系数0≠a ；x 的最高次幂为2】例题：若()311+++=-x xa y a 二次函数，则a 的值为 .【变式训练】若()12112+-+=+x x m y m二次函数，则m 的值为 .知识点二：“一般式”化“顶点式”例题：542++=x x y方法一：1)2(52)222(522225422222222++=+-+⋅⋅+=+-+⋅⋅+=++=x x x x x x x y方法二：144,222=--=-a b ac a b ，1)2(44)2(542222++=-++=++=x ab ac a b x x x y 【变式训练】把下列二次函数化成顶点式①322+-=x x y ； ②1122+-=x x y ； ③7422++=x x y知识点三：开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，增减性 【温馨提示】形状相同，则二次项的系数a 相等【变式训练】完成下列表格知识点四：二次函数与x 轴交点的个数及交点的坐标，与y 轴的交点坐标【温馨提示】1.对于二次函数c bx ax y ++=2，当△=ac b 42->0，图像与x 轴有两个交点；当△=ac b 42-=0，图像与x 轴有一个交点；当△=ac b 42-<0，图像与x 轴没有交点。

2.求二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标就是令y =0，求出x 1，x 2，则交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）；二次函数c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标就是令x =0，求出y ，则交点坐标为（0，y ）；【变式训练】完成下列表格知识点五：二次函数图像的平移【温馨提示】二次函数图像的平移其实就是顶点的平移例题：二次函数162++=x x y 的图像经过怎样平移能够变成542+-=x x y【分析】162++=x x y 的顶点坐标为（－3，－8），542+-=x x y 的顶点坐标为（2，1）.点（－3，－8）向右平移5个单位，再向上平移9个单位变成（2，1），所以162++=x x y 向右平移5个单位，再向上平移9个单位变成542+-=x x y【变式训练】完成下列表格知识点六：待定系数法求二次函数的解析式【温馨提示】一般知道三个点的坐标，设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2，然后将三个点的坐标代入c bx ax y ++=2，得到一个三元一次方程组；如果知道两个点的坐标，其中一个点为顶点),(n m ，则设二次函数的解析式为n m x a y +-=2)(，再把另一个点的坐标代入n m x a y +-=2)(求出a 的值；若知道三个点的坐标，其中有两个点（x 1，0），（x 2，0）在x 轴上，则可设))((21x x x x a y --=，再把另一个点的坐标代入))((21x x x x a y --=，求出a 的值。

【变式训练】1、已知抛物线c bx ax y ++=2经过(－1，2)、(1，－1)、(0，3)三点，求抛物线的函数关系式。

2、已知二次函数的顶点坐标是（1，－2），且图像经过(3，5)三点，求二次函数的解析式。

二次函数图像基础练习题1.二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，此拋物线的对称轴是（ ）A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－12.已知a －b ＋c=0 ，9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）A.第一或第二象限B.第三或第四象限C.第一或第四象限D.第二或第三象限3.已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y x=12上，点N 在直线y x =+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y abx a b x =-++2()（ ）。

A. 有最小值92B. 有最大值-92C. 有最大值92D. 有最小值-924.抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（ ）（A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9）5．在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++ 6．二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，7.抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(1，O)C ．(0，一3)D ．(0，8.如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过A 点（3，0），二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：①24b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④9.二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是A ．(-1，-2)B ．(1，-2)C ．(-1，2)D ．(1，2) 10.已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ， a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4 D 、5Oyx1x =(30)A ，第8题图11.二次函数y=(x+1)2 +2的最小值是（ ）A B C D 2、 2 、1 、-3 、 312.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ，其中正确结论的个数为（ ） A 、0个 B 、3个 C 、2个 D 、112题 13题 15题13.小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2）1c >；（3）0b >；（4）0a b c ++>；（5）0a b c -+>． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个14.已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）15.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是 A ．a ＜0B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞016.在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y 17.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =18.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示， 有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<， 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个x1 y2 －1 1 Ｏ －1 Oyx1-1A ． xyO 1-1B ． xy O1-1xyO1-11O y31 O y x19.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ） A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>20.将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2x 2＋3 B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝2（x ＋3）2 D ．y ＝2（x －3）221.将抛物线22y x =向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-22.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x =C ．212y x =-D ．212y x =23.如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF面积的2倍时，求E 点的坐标;yO C A111-O xy（19题图） 图6（1） 图6（2）24.已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？2（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF面积的2倍时，求E 点的坐标;3（2010广东东莞）已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）⑴求出b ,c 的值，并写出此时二次函数的解析式；⑵根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．6.如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;xy 3－1 O xyO BC Al 0yx-1-2-1-2-4-312435123例2、已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2 (a≠0)与x轴交于两点A（x1,0），B(x2,0) ，(x1≠x2) （1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值。