例:
某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产
地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
解：总产量 = 总销量，这是一个产销平衡问题。
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，可建立如下模型：
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200
产销平衡表(cost and requirement table)
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
c11
c12
…
c1n
a1
A2
c21
c22
…
c2n
a2
…
…………
…
Am 销量
cm1
cm2
…
cmn
am
b1
b2
…
bn
Σai Σbj
第二节 表上作业法
----(Transportation Simplex Method) 一、运输问题数学模型的基本概念
还没有得到最优解，需要进行基可行解的转换。 （1）以某一个σij <0（若有多个则取最小者）对应的变量xij
作为进基变量； （2）以所选的xij为第一个顶点作闭回路，该闭回路除xij外，
其余顶点都是基变量，并排序； （3）以顺序为偶数的顶点的基变量最小值作为调整量，在顺
序为奇数的顶点上加上该调整量，在顺序为偶数的顶点 上减去该调整量，即可得到新的基可行解。
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
A1
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
A2
x21
x22
x23
x24
x25
x26
x27
A3
x31
x32
x33
x34
x35
x36
x37
闭回路有如下特点： ①每个顶点都是转角； ②每行或每列只有且仅有两个顶点； ③每个顶点的连线都是水平的或垂直的。
二、表上作业法
求解运输问题的思想和单纯形法完全类似，即首先确定 一个初始基本可行解，然后根据最优性判别准则来检查这个 基本可行解是不是最优的。如果是则计算结束；如果不是， 则进行换基，直至求出最优解为止。
2000件、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个销地。
已知每月各销地各类产品的预期总销售量均为1500件，由
于种种原因，各销地销售不同产品的利润额不同。又知丙
地拒绝进A产品。求满足上述条件下使总利润最大的供销
方案。要求（1）写出该问题的数学模型；（2）用表上作
业法求解所该问题。
– 答案：x12=500,x21=1500
• σ12=7－6＋8－3＝6
销地
B1
B2
B3
B4
产量
产地
依此类推
A1
20
×
5
25 50
3
7
6
4
• σ22=4, σ23=-2，σ24=0， σ31=3，σ34=3
A2
20
×
×
× 20
2
4
3
3
• σ23=－2<0，故表中的基可 A3
×2010×838
9
30
行解不是最优解。
销量
40
20
15
25
（三）基可行解的转换(convert BF solution) • 当调运表中，仍然有非基变量的检验数为负，则说明问题
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200
xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
二、运输问题的推广
已知有m个生产地点(source)Ai，i=1，…，m，可供 应 某 种 物 资 ， 其 供 应 量 （ 产 量 ） (supply) 为 ai ， i=1 ， … ， m ； 有 n 个 销 售 地 点 (destination)Bj ， j=1 ， … ， n ， 需 要 该 种 物 资 ， 其 需 要 量 （ 销 量 ） (demand)为bj，j=1，…，n；从Ai到Bj运输单位物资的 运价（单价）为cij；设Σai=Σbj，这些数据可汇总于 如下产销平衡表，现要制定一个使总运费最小的调运 方案。
销地
B1
B2
产地
A1
3
5
A2
6
1
销量
150
210
B3
产量
2
200
4
250
150
450
510
假想一个产地A3，其产量为510－450=60，得到如下产销平衡表
销地
B1
B2
产地
B3
产量
A1
3
5
A2
6
1
A3
0
0
销量
150
210
2
200
4
250
0
60
150
510
510
思考与讨论
– 运输问题建模型与求解
– 某公司生产A、B、C三种产品，每月生产量分别为500件、
销地 产地
A1
B1
20 3
B2
× 7
B3
5 6
B4
25 4
A2
20
×
×
×
2
4
3
3
A3 销量
× 8
40
20 3
20
10 8
15
× 9
25
产量 50 20 30
可以证明，由最小元素法给出的可行解就是运输问题 的一个基可行解。
（二）最优解的判定(optimality testing)
• 最优解的判定，通常有两种方法，即闭回路法和位势法。
销地 产地
甲乙
丙 供应量
A
5
4
──
500
X22=500,x32=500,x33=150
B
0
C
16
8
9
2000
12
10
11
2000
基变量的检验数 ≥0，则已得到问题最优解，停止计 算。否则转下一步； （4）选取小于 0的检验数中的最小者对应的变量作为进基 变量，用闭回路法进行基可行解转换，得到新的基可 行解，转（3）。
第四节 运输问题的应用(Applications)
一、一般的产销不平衡运输问题
•产销不平衡问题举例 （产大于销）
• 对基可行解进行转换
由于σ23 =－2<0，故以x23为进基变量，并以x23为第一个 顶点作闭回路。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1
B2
B3
B4
20 3 25 7
6
5 0
25 4
20 2 15
8 40
4
20 3
20
5
3 x23
10 8
15
3
9 25
产量 50 20 30
• 表上作业法总结
（1）编制调运表（包括产销平衡表及单位运价表）； （2）在调运表上求出初始基可行解； （3）用位势法或闭回路法计算非基变量检验数。若所有非
其步骤是： （1）确定初始基可行解 （2）最优解的判定； （3）基可行解的转换。
（一）初始基可行解的确定
• 确定初始基可行解的方法很多，如最小元素法、伏格尔 法、西北角法等。这里仅介绍既常用又简便的方法—— 最小元素法(minimum cost method)。
• 这种方法的基本思想就是就近供应，即从单位运价表中 最小的运价开始确定供销关系，然后次小。一直到求出 初始基可行解为止。
例3.2 设有某物资从A1，A2，A3处运往B1，B2，B3，B4 四个地方，各处供应量、需求量及单位运价见下表。问应 如何安排运输方案，才能使总运费最少？
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
7
6
4
产量 50
A2
2
4
3
3
20
A3 销量
8
3
8
9
30
40
20
15
25
100 100
最小元素法确定初始基可行解
• 最小元素法的步骤
（1）列出调运表（包括单价、产量与销量）； （2）在调运表中找出一个单位运价最小的格子，在相应的运量位置上
填上尽可能大的数（必须满足约束条件）。 （3）在填有数字的格子所在行或者列运量应该为0的位置上打“×”，
（即表示该运量为0，相应的变量为非基变量）且只能在行或列 的方向上打“×”，不能同时在两个方向上打“×”； （4）在没有填数，也未打“×”的格子重复上述（2）、（3）步； （5）最后剩下的一行或列只能填数，不能打“×”。
• 对于运输问题的数学模型有如下定理： 定理3.1 运输问题的数学模型必有最优解。 定理3.2 约束方程系数矩阵A的秩为m+n－1，即
R（A）=m+n－1。 定理3.3 运输问题m+n－1个变量构成某一基可行解的基
变量的充要条件是：不包含以这些变量为顶点 的闭回路。
定义3.1（闭回路的定义） 在运输问题的调运表中，凡能排 成xi1j1，xi1j2，xi2j3，…，xisjs，xisj1形式的变量集合，称 为一个闭回路(closed path, stepping-stone-path)，其中诸 变量称为该闭回路的顶点(corner)。