常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y ydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x xyc x x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dxdy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e eexy uu xy x u u x yxyyx xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。

两边积分得：变量分离，得：则令解：cx y x arctg cx arctgt dx dt dx dt dx dtdx dy t y x dxdyc dx dy dxdy tt y x e e e e e x yxyyx +=++==++=+==+=+===+-)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12．2)(1y x dx dy +=解cx y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X YX dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'22,31,3131,31;012,0121212.132-+-==--=+=-==-==+-=--+---=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22c x y x cx t dxdt t t tdx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15．18)14()1(22+++++=xy y x dxdy原方程的解。

，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dxdy+=++=++==+=+++++=+++++++=6)383232(941494141412)14(181816122222216．2252622y x xy x y dx dy +-=解：，则原方程化为，，令u y x xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32322332322232]2)[(32(2)(126326322222+-=+-=x u x u xxu x u dx du ，这是齐次方程，令cx x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz dz z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.( (126)1263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。

故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。

或）方程的解。

即是（或，得当，，，，所以，则17.y y y x xxy x dx dy -+++=3232332 解：原方程化为123132;;;;;)123()132(2222222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(123132;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则方程组，，，）；令，的解为（111101230132+=-=-⎩⎨⎧=-+=++u Y v Z u v u v则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令)2.( (232223322)，，，，，所以，，则有t t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++==当是原方程的解或的解。

得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当c x y x y dz z dt t t t 5222222)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得另外c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或 ，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程c y x x y dx x du u u u ux u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dxdy y x +==--=+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+==+===4ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.x ,c 2故原方程的解为原也包含在此通解中。

0y ,c 2即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dxdy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dxdu dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222x y x y x y x yx u u uu yx19. 已知f(x)⎰≠=xx f x dt x f 0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.解：设f(x)=y, 则原方程化为⎰=xydt x f 01)( 两边求导得'12y y y -=cx y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==-21;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入把cx y +±=21⎰=xydt x f 01)(xy c c x c c x c x dt ct x21,02)2(;;;;;;;;;;2210±==+±=-+±+±=+±⎰所以得20.求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(x x x -+=)0()0(1)0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。

所以x (0)=0. x’(t)=)(1)(0(')()(1[))(1)((lim )()(lim 22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=∆-∆+∆=∆-∆+)))(1)(0(')(2t x x dt t dx += dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tg[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1．dx dy=x y sin +解： y=e⎰dx(⎰x sin e⎰-dxcdx +)=e x [-21e x-(x x cos sin +)+c]=c e x-21 (x x cos sin +)是原方程的解。