2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校下学期第二阶段考试高一数学试题答题时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1.已知a >b ，则下列各式一定成立的是A.2-a >1b -B.1+a >1-bC.2018a <2018bD.2018a ->2018b - 2.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A.向左平移6π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移3π个单位 3.sin 585o的值为C.D.4.在四边形ABCD 中，2AB a b =+u u u r r r ，4BC a b =--u u u r r r ，53CD a b =--u u u r r r，则四边形ABCD 的形状是A.矩形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.梯形 5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6.某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ， 则 A.x =a ＋b2B.x ≤a ＋b2C.x >a ＋b2D.x ≥a ＋b27.设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为A.10B.8C.6D.48.若A 是三角形ABC ∆中的最小内角，则sin cos A A -的取值范围是A.[B.1(1,)2-C.1[1,]2-D.1(]2-9.对一切实数x ，若不等式x 4+(a -1)x 2+1≥0恒成立，则a 的取值范围是 A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 10.函数sin 2(1tan 2tan )y x x x =+⋅的最小正周期为 A.2π B.π C.23π D.2π11.已知平面内，0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，||||1AB AC ⋅=u u u r u u u r，且4AB AC AP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于A.13B.15C.19D.2112.已知函数)(x f 满足下列条件：①定义域为[)+∞,1；②当21≤<x 时)2sin(4)(x x f π=；③)2(2)(x f x f =. 若关于x 的方程0)(=+-k kx x f 恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是A.)31,141[B.]31,141(C.]2,31(D.)2,31[第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13.已知||1a =r ，||2b =r ，,60a b <>=or r ，则|2|a b +=r r .14.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r.15.已知0>x ，0>y ，22x y xy +=，则y x 2+的最小值为 .16.设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 已知α，β为锐角，且1tan 7α=，10sin 10β=.（Ⅰ）求sin()αβ+； （Ⅱ）求2αβ+.18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式2(21)20mx m x +-->．19．（本小题满分12分）已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点．（Ⅰ）AC BC ⋅u u u r u u u r ＝－13，求sin 2θ的值；（Ⅱ）若OA OC +u u u r u u u r=7，且θ∈(－π,0)，求OB uuu r 与OC u u u r 的夹角．20．（本小题满分12分）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直 线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13132cos -=∠EAC . （Ⅰ）求θcos ；（Ⅱ）求该船的行驶速度v （海里/小时）.21．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设BAD α∠=，sin 5α=. （Ⅰ）求sin BAC ∠和sin C ；（Ⅱ）若28BA BC ⋅=u u u r u u u r，求AC 的长.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 为平面上任一点，A ，B ，C 三点满足1233MC MA MB =+uuu r uuu r uuu r ．（Ⅰ）求||||BA BC uu r uu u r 的值； （Ⅱ）已知A (1,sin x )、B (1+sin x ,sin x )，M (1+23sin x ,sin x )，x ∈(0,π)，且函数 2()(2)||3f x OA OM m AB =⋅+-uu r uuu r uu u r 的最小值为12，求实数m 的值．B2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校下学期第二阶段考试高一数学试题参考答案BACDC BBDAB AD13.14..615. 416. [2,27]17.（本小题满分10分）已知，为锐角，且，. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求.（1）（2）18．（本小题满分12分）解：关于x的不等式mx2+（2m﹣1）x﹣2＞0等价于（x+2）（mx﹣1）＞0；当m=0时，不等式化为x+2＜0，解得解集为（﹣∞，﹣2）；当m＞0时，不等式等价于（x﹣）（x+2）＞0，解得不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；当m＜0时，不等式等价于（x﹣）（x+2）＜0，若﹣＜m＜0，则＜﹣2，解得不等式的解集为（，﹣2）；若m=﹣，则=﹣2，不等式化为（x+2）2＜0，此时不等式的解集为∅；若m＜﹣，则＞﹣2，解得不等式的解集为（﹣2，）．综上，m=0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）；m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；﹣＜m＜0时，不等式的解集为（，﹣2）；m=﹣时，不等式的解集为∅；m＜﹣时，不等式的解集为（﹣2，）．19．（本小题满分12分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O为坐标原点．（Ⅰ）＝－31，求sin 2θ的值；（Ⅱ）若=，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．解：(1)∵→AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，→BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，→AC ·→BC＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－31∴sin θ＋cos θ＝32， ∴1＋2sin θcos θ＝94， ∴sin 2θ＝94－1＝－95.(2)∵→OA ＝(2,0)，→OC＝(cos θ，sin θ)， ∴→OA ＋→OC＝(2＋cos θ，sin θ)，∴|→OA ＋→OC |＝＝，即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7， ∴4cos θ＝2，即cos θ＝21. ∵－π＜θ＜0，∴θ＝－3π， 又∵→OB ＝(0,2)，→OC＝3，∴cos 〈→OB ，→OC 〉＝|OC ＝23＝－23，∴〈→OB ，→OC 〉＝65π. 20．（本小题满分12分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东的C处，．在离观测站A的正南方某处E，. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求该船的行驶速度v（海里/小时）；解：（1）（2）利用余弦定理该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时21．（本小题满分12分）如图，在中，，角的平分线交于点，设，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求的长.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M为平面上任一点，A，B，C三点满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知A(1,sin x)、B(1+sin x,sin x)，M(1+sin x,sin x)，x∈(0,π)，且函数的最小值为，求实数m的值．解：（Ⅰ）证明：由=+，得﹣=2（﹣），∴=2，且、有公共点C，∴A，B，C三点共线，如图所示；∴===3；（Ⅱ）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）∴函数f（x）=•+（2m﹣）•||=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）•sinx=sin2x+2msinx+1；设sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；讨论﹣m＜0即m＞0时，此时y没有最小值；当0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0时，当t=﹣m有y=1﹣minm2=，解得m=﹣；当﹣m＞1即m＜﹣1时，此时y没有最小值；综上，得m=﹣．。