3.4 向量和矩阵范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5
目录
3.4.1 向量范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.2 矩阵范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 误差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
第三章 线性方程组的直接解法
25
3.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Gauss 消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.1.2 插值型求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.5 高斯主元消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 直接三角分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 不动点迭代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 迭代法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4.1 一般收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.2 对角占优矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 牛顿迭代公式及几何意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 牛顿迭代法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 割线法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 逐次超松弛迭代法 (SOR 方法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 迭代法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第六章 数据拟合
57
6.1 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 最小二乘法的基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.3 迭代法的改善（选学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 牛顿迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
第五章 代数插值
43
5.1 插值多项式的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 插值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 插值多项式的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
第二章 方程求根
13
2.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 根的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 误差的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 数值计算的若干原则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 牛顿插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 埃尔米特 (Hermite) 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 分段三次埃尔米特插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6 三次样条插值函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
第七章 数值积分与数值微分
61
7.1 数值积分的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1.1 一般求积公式及代数精度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2 根的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 根的精确化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
数值计算方法
冯玉明1 编著
2009 年 6 月 15 日
1E-mail: yumingfeng25928@
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致谢
在本书的编写过程中, 得到重庆三峡院数学与计算机科学学院 06 数学与应用数学部分同 学的大力支持和帮助, 他们帮助完成了本书部分章节的 LATEX编写. 在此表示衷心的感谢.
如果您在阅读本书过程中, 发现任何错误, 请发邮件到 yumingfeng25928@
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目录
第一章 引论
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1.1 计算方法研究的对象与特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 误差理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 误差的来源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 误差的度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 基本思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 高斯消去法计算公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1.2 多项式拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 超定方程组的最小二阶乘解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Jacobi 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34