第8章 解析几何 直线的方程一、选择题1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m (m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，考查知识点l 1:A 1x+B 1y=C 1，l 2:A 2x+B 2y=C 2:。

当l 1∥l 2时，A 1B 2=A 2B 1,且B 1C 2≠B 2C 1，当l 1⊥l 2，A 1A 2+B 2B 1=0.故选A.2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[答案] A[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，考查知识点l 1:A 1x+B 1y=C 1，l 2:A 2x+B 2y=C 2:。

当l 1∥l 2时，A 1B 2=A 2B 1,且B 1C 2≠B 2C 1，当l 1⊥l 2，A 1A 2+B 2B 1=0.故选A.(理)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] y ′＝2ax ，在(1，a )处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1.考查知识点：切线的意义，切线在某点的导数即切线的斜率。

故选A3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2)D ．(2，－2)[答案] D[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2， 知识点：A 点和B 点关于直线l 对称，则○1AB 的中点在直线l 上，○2直线AB 的斜率与直线l 的斜率乘积等于-1特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A |＝|B |＝1时，点A (x 0，y 0)关于l 的对称点B (x ，y )的坐标，x ＝－By 0－C A ，y ＝－Ax 0－CB.4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O (0,0)，A (2,0)，C (0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－1,0]D ．[－2,0][答案] D[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，∵k OD ≥k OB ＝12，∴k ＝－1k OD ≥－2，且k <0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k ≤0.5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(10，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，10 [答案] D[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43<a <10，故选D. (理)如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4[答案] C[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0，∴318<a <5，又a 为整数，∴a ＝4. 6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率等于( )A ．1 B.32 C.12D.33[答案] C[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l ′，则OA →、OB →在l ′上的射影也相等，故A 、B 到直线l ′的距离相等，设l ′：y ＝kx ，则|k －3|1＋k 2＝|－3k －1|1＋k2，∴k ＝－2或12， ∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12.[点评] 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k )，由OA →，OB →在a 上射影的长度相等可得|a ·OA →||a |＝|a ·OB →||a |，可解出k .7．设A (0,0)，B (2,2)，C (8,4)，若直线AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(16，－12) B ．(8，－6) C ．(4，－3)D ．(－4,3)[答案] A[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －1＝0[答案] B[解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0， ∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，故选B.(理)(2010·山东潍坊)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009的值为( )A ．－log 20102009B ．－1C ．log 20102009－1D ．1[答案] B[解析] 由y ＝x n＋1得y ′＝(n ＋1)x n ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，x n ＝nn ＋1，∴log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009 ＝log 2010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2010⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×20092010＝log 201012010＝－1，故选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 [答案] C[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为 1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±24.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－24，24.故选C. (理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A (3，－1)，C (2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，则B 点轨迹的方程为( )A ．3x －y －20＝0(x ≠13)B ．3x －y －10＝0(x ≠13)C ．3x －y －9＝0(x ≠－8)D ．3x －y －12＝0(x ≠－8)[答案] A[解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫52，－2，设B (x ，y )，则B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y )在直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x )－(－4－y )＋1＝0，即3x －y －20＝0.∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x ≠13.10．已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p ，直线l 在两坐标轴上的截距之和为q ，且p 比q 大1，则这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋ 6C ．4＋3 3D ．5＋2 6 [答案] D[解析] 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b ≥2ab ，∴12ab ≥2ab ＋1，即(ab )2－4ab －2≥0，解得ab ≥2＋6，∴12ab ≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6.二、填空题11．(2010·深圳中学)已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] a ＋2b ＝(－2,3)，设l 上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －3，y ＋1)，由条件知，(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，∴2x －3y －9＝0.12．(2010·浙江临安)设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为42.13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝____”．[答案] －2[解析] 由条件知a 3＝2a －1，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3，当a ＝3时，两直线重合不合题意，∴a ＝－2.14．(文)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)，则yx 的最大值、最小值分别为________．[答案] 23，－1[解析] 设k ＝y x ，则yx表示线段AB ：3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A (1，－1)，B (3,2)．由图易知：k max ＝k OB ＝23，k min ＝k OA ＝－1.(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案] [0，π2)∪(2π3，π)[解析] 由题意f ′(x )＝a (x －1)2－3，∵a >0，∴f ′(x )≥－3，因此曲线y ＝f (x )上任一点的切线斜率k ＝tan α≥－3， ∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3<α<π.三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．[解析] 当0≤x ≤10时，直线过点O (0,0)，A (10,20)，∴k OA ＝2010＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x ≤40时，直线过点A (10,20)，B (40,30)， 此进k AB ＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)，即y ＝13x ＋503；当x >40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v 1，放水的速度为v 2，在OA 段时是进水过程，∴v 1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v 1＋v 2＝13，∴2＋v 2＝13.∴v 2＝－53.∴当x >40时，k ＝－53.又过点B (40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C (58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，0≤x ≤1013x ＋503，10<x ≤40－53x ＋2903，40<x ≤58.(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝⎛⎭⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝⎛⎭⎫－1，13在AD 所在直线上． (1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C 1的方程；(2)已知点E ⎝⎛⎭⎫－12，0，点F 是圆C 1上的动点，线段EF 的垂直平分线交FM 于点P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为－43.又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)，即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)． 又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心． 而|MA |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(－1－0)2＝52，∴外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝54. (2)由题意得，|PE |＋|PM |＝|PF |＋|PM |＝|FM |＝52，又|FM |>|EM |， ∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c ＝12，a ＝54，∴b 2＝a 2－c 2＝516－14＝116.故动点P 的轨迹方程是x 2516＋y 2116＝1.16．已知直线l 1过点A (－1,0)，且斜率为k ，直线l 2过点B (1,0)，且斜率为－2k ，其中k ≠0，又直线l 1与l 2交于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．[解析] (1)设M (x ，y )，∵点M 为l 1与l 2的交点，∴⎩⎨⎧yx ＋1＝k y x －1＝－2k(k ≠0)，消去k 得，y 2x 2－1＝－2，∴点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． (2)由(1)知M 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则2x 12＋y 12＝2① 2x 22＋y 22＝2②①－②得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－2×x 1＋x 2y 1＋y 2， ∵N ⎝⎛⎭⎫12，1为CD 的中点， 有x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝2， ∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1、l 2都相切，求l 2所在直线的方程和圆C 的方程．[解析] 直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)． ∵l 的倾斜角为30°.∴l 2的倾斜角为60°.∴k 2＝ 3.∴反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0. 已知圆C 与l 1切于点A ，设C (a ，b )． ∵⊙C 与l 1、l 2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， ∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴a ＝33②由①②得⎩⎨⎧a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.。