直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是12-，经过点A （8，―2）； （2）经过点B （4，2），平行于x 轴； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3； （4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）10x y +-= 【解析】 （1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y―4=0． （2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0． （3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x―y―3=0． （4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点(3,1)B -，且倾斜角是30︒，求直线的点斜式方程和一般式方程. 【答案】31(3)3y x +=- 333330x y ---=【解析】因为直线倾斜角是30︒，所以直线的斜率3tan tan 303k α==︒=，所以直线的点斜式方程为：31(3)3y x +=-，化成一般式方程为：333330x y ---=. 例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程. 【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线 的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l 的方程． 【答案】3x+4y―11=0 【解析】解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x+4y+1=0平行，∴34k =-． 又∵l 经过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4y x -=--，即3x+4y―11=0． 解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0， ∵l 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3x+4y―11=0． 【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．（2）一般地，经过点A （x 0，y 0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x 0)+B(y―y 0)=0． （3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx―Ay+m=0（A ，B 不同时为零）． 举一反三：【变式1】已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时: （1）1l 与2l 平行（2）1l 与2l 垂直. 【答案】（1）23m =-（2）0m = 【解析】当0m =时，1l ：8y-10=0；2l ：x-4=0，12l l ⊥当0m ≠时，1l ：310388m m y x -=-+；2l ：1466y x m m =-+由3186m m-=-，得23m =±，由103486m m -=得2833m =或 而31()()186m m-⋅-=-无解综上所述（1）23m =-，1l 与2l 平行．（2）0m =，1l 与2l 垂直．【变式2】 求经过点A （2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线l 的方程． 【答案】x －2y=0【解析】因为直线l 与直线2x+y―10=0垂直，可设直线l 的方程为20x y m -+=，把点A （2，1）代入直线l 的方程得：0m =，所以直线l 的方程为：x －2y=0．类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可． 【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±． 设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫±⎪⎝⎭，（0，b ）． ∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3． 故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±． 解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三： 【变式1】（2015春 启东市期中）已知直线m ：2x ―y ―3=0，n ：x +y ―3=0． （1）求过两直线m ，n 交点且与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程； （2）求过两直线m ，n 交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程． 【思路点拨】（1）求过两直线m ，n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【答案】（1）x +2y ―4=0；（2）【解析】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即两直线m ，n 交点坐标为（2，1），设与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程为x +2y +c =0， 则2+2×1+c =0，解得c =―4，则对应的直线方程为x +2y ―4=0； （2）设过（2，1）的直线斜率为k ，（k ≠0）， 则对应的直线方程为y ―1=k (x ―2)，令x =0，y =1―2k ，即与y 轴的交点坐标为A （0，1―2k ）令y =0，则1212k x k k -=-=，即与x 轴的交点坐标为21(,0)k B k -，则△AOB 的面积121|||12|42k S k k-=⨯-=，即2(21)8k k -=， 即244810k k k --+=，若k ＞0，则方程等价为241210k k -+=，解得32k +=32k -=， 若k ＜0，则方程等价为24410k k ++=， 解得12k =-．综上直线的方程为11(2)2y x -=-- ，或31(2)2y x +-=-，或31(2)2y x --=-即122y x =-+，或322y x +=--322y x -=-+ 类型三：直线方程的实际应用例6．（2015春 湖北期末）光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ：x +y +1=0上，反射光线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点A 关于l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A 到B 所走过的路线长．【解析】设点A 关于l 的对称点A ＇（x 0，y 0），∵AA ＇被l 垂直平分，∴0000231022312x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得0043x y =-⎧⎨=-⎩∵点A ＇（―4，―3），B （1，1）在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为341314y x ++=++，即4x ―5y +1=0， 解方程组451010x y x y -+=⎧⎨++=⎩得入射点的坐标为21(,)33--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为1233123233y x ++=++，即5x ―4y +2=0， 光线从A 到B所走过的路线长为|'|A B ==．【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．举一反三： 【变式1】（2016春 福建厦门期中）一条光线从点A （－4，－2）射出，到直线y =x 上的B 点后被直线y =x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D （－1，6）．求BC 所在直线的方程．【答案】10x －3y +8=0【解析】如图，A （－4，－2），D （－1，6），由对称性求得A （－4，－2）关于直线y =x 的对称点A ＇（－2，－4）， D 关于y 轴的对称点D ＇（1，6），则由入射光线和反射光线的性质可得：过A ＇D ＇的直线方程即为BC 所在直线的方程． 由直线方程的两点式得：426412y x ++=++． 整理得：10x －3y +8=0．例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m 2）【答案】6017【解析】 建立坐标系，则B （30，0），A （0，20）． ∴由直线的截距方程得到线段AB 的方程为13020x y+=（0≤x≤30）． 设点P 的坐标为（x ，y ），则有2203y x =-． ∴公寓的占地面积为2(100)(80)(100)(8020)3S x y x x =-⋅-=-⋅-+2220600033x x =-++（0≤x≤30）． ∴当x=5，503y =时，S 取最大值，最大值为222205560006017(m )33S =-⨯+⨯+≈．即当点P 的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A 、P 、B 三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x 与y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．。