直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。

x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。

倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。

当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。

注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。

（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。

牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。

这可通过画正切函数在0,,22πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上的图像来认识。

例9.1 若三点(2,2),(,0),(0,)A B a C b (0)ab ≠共线，则11a b+=___________.分析 由三点共线可联想到斜率相等或向量共线。

解析 解法一：由题设可知AB AC k k =， 即022202b a --=--，(2)(2)4,2()a b ab a b --==+ 1112a b a b ab ++== 解法二：由题设可知//AB AC ，即(2,2)//( 2.2)a b ----，即(2)(2)4a b --=。

2()ab a b =+，1112a b a b ab ++== 解法三：由题设可知点(2,2)A 在直线BC 上，又由截距式方程得直线BC 方程：1x ya b+=，故221111,2a b a b +=+=。

评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处。

变式1 若直线l 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线l 重合，则直线l 的斜率为__________.变式2 已知过2(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是___________.例9.2 已知(0,0),(1,1),(1,1),(1,1)O A B C --，P 点为一动点。

（1）当P 点在线段AB 上运动时，求直线OP 倾斜角的范围 （2）当P 点在线段AC 上运动时，求直线OP 的斜率的范围。

解析 （1）当P 点在线段AB 上运动时，求直线OP 斜率为[]1,1-，可得倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭。

（2）当P 点在线段AC 上运动时，倾斜角范围为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得斜率为直线OP 的斜率的范围(][).11,-∞-⋃+∞评注 当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括90时，斜率分两段，可用正切函数0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭上的图像求解。

变式1 若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，则下列四个命题正确的是（ ） A.若12αα<，则两直线的斜率12k k < B.若12αα=，则两直线的斜率12k k = C.若12k k <，则两直线的斜率12αα< D.若12k k =，则两直线的斜率12αα=变式2 若直线l 的斜率k 的变化范围是⎡-⎣，则其倾斜角的变化范围是（ ）A. ,()43k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B.,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.3,34ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D .30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭变式3 直线l 经过2(2,1),(1,)A B m 两点（m R ∈），那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. [)0,π B. 0,,42πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭例9.3 已知直线l 过(1,2)P -，且与以(2,3),(3,0)A B --为端点的线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围。

分析 本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤。

①做出直线区域图；②求出区域边界斜率12,k k ；③按逆时针方向旋转得到12k k →；④若12k k >，直接写出12[,]k k k ∈（或开区间），若12k k <过无穷，[)12(,],k k k ∈-∞⋃+∞。

解析 解法一：如图所示，15,2PA PB k k ==-。

因为过点(1,2)P -且与x 轴垂直的直线PC 与线段AB 相交，但此时直线l 斜率不存在，直线PA 绕点P 逆时针旋转到PC 时，l 斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l 斜率的范围是[)5,+∞；直线l 由PC （不包括PC ）逆时针旋转至PB 时，l 斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

故所求直线的斜率的取值范围是[)1,5,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦。

解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当l x ⊥轴时，与线段AB 相交，此时斜率不存在。

当斜率k 存在时，设直线l 的方程为(1)2y k x =++，即20kx y k -++=，要使l 与线段AB 有交点，只需,A B 落在直线l 的两侧或直线上，则应满足[(2)(3)2](32)0k k k k ---++⋅⋅++≤，得12k ≤-或5k ≥，故所求直线l 的斜率k 的取值范围是[)1,5,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦。

评注 本题主要用了数形结合的方法。

另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广。

变式1 已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)-，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求实数m 的范围。

变式2 已知实数,x y 满足222(11)y x x x =-+-≤≤，试求32y x ++的最大值与最小值。

，题型2 直线的方程 思路提示要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式。

例9.4 求下列直线方程：（1）直线`1l ：过点(2,1)，斜率2k =-； （2）直线`2l ：过点(2,1)-和点(3,3)-； （3）直线`3l ：过点(0,1)，斜率12-。

分析 已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式。

解析 （1）由直线的点斜式方程得12(2)y x -=--，整理得`1l 的方程为250x y +-=。

（2）解法一：由直线的两点式方程得1(2)313(2)y x ---=----，整理得`2l 的方程为4530x y ++=。

解法二：直线`2l 的方程求解也可用点斜式，先算出314325k --==-+，再代入点斜式得41(2)5y x -=-+，即4530x y ++=（3）由直线的点斜式方程得112y x =-+，整理得`3l 的方程为220x y +-= 评注 已知直线上一点的坐标以及直线斜率，或已知直线上两点坐标均可用直线方程的点斜式表示，使用直线方程的点斜式时，应在直线斜率存在的条件下使用，当斜率不存在时，直线方程为0x x =。

变式1 求满足下列条件的直线方程： （1）斜率2k =，在y 轴上的截距是5； （2）斜率3k =，在x 轴上的截距是1-；； （3）在x 轴, y 轴上的截距是2，-5。

变式2 直线`1l ： 310x y -+=，直线`2l 过点(1,0)，且它的倾斜角是`1l 的倾斜角的2倍，则`2l 的方程为__________.例9.5 已知两直线`111:70l a x b y ++=，`2l 22:70a x b y ++=都经过点(3,5)，则经过点112212(,),(,)()a b a b a a ≠的直线方程是____________.解析 解法一：由题设可知所求直线斜率为2121b b k a a -=-，且112235703570a b a b ++=⎧⎨++=⎩，作差得12123()5()0a a b b -+-=，则350k +=，35k =-。

故所求直线为：113()5y b x a -=--，即1135(35)0x y a b +-+=， 即3570x y ++=。

解法二： 由两直线`111:70l a x b y ++=，`2l 22:70a x b y ++=都经过点(3,5),得112235703570a b a b ++=⎧⎨++=⎩，两点112212(,),(,)()a b a b a a ≠都适合方程3570x y ++=，又过这两点的直线是唯一的。

故经过点112212(,),(,)()a b a b a a ≠的直线方程是3570x y ++=评注 若两点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足方程：220()Ax By C A B ++=+，即0(1,2)i i Ax By C i ++==，则过,A B 两点的直线方程为AB l ：0Ax By C ++=变式1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的顶点为(0,),(,0),(,0)A a B b C c 。