高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即0tan (90)k αα=≠。

斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.如右图，直线l 1的倾斜角=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l 2的斜率.解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )° ° ° °（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。

④截矩式：1x y ab+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：ax =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12-，经过点A(8，—2)； . (2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32-； . 4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）A ．C =0，B>0B ．C =0，B>0，A>0C ．C =0，AB<0D ．C =0，AB>0例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ）A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00y y kx x -=-，直线过定点()0,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（三）垂直直线系垂直于已知直线0Ax By C ++=（,A B 是不全为0的常数）的直线系：0Bx Ay C '-+=例1：直线l ：(2m+1)x +(m+1)y —7m —4=0所经过的定点为 。

(m∈R) （5）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，（1）212121,//b b k k l l ≠=⇔；（2）12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（3）1212,k k b b ==⇔1l 与2l 重合；（4）12k k ≠⇔1l 与2l 相交。

另外一种形式：一般的，当1111110:0(,)l A x B y C A B ++=不全为， 与2222220:0(,)l A x B y C A B ++=不全为时，（1）122112210//120A B A B l l B C B C -=-≠⎧⇔⎨⎩，或者1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩。

（2）1212120l l A A B B ⊥⇔+=。

（3）1l 与2l 重合⇔1221A B A B -=1221B C B C -=1221A C A C -=0。

（4）1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)，当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行例 2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 （6）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标例4. 已知直线l 的方程为121+-=x y ，(1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。

例2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点P(2，3)及两条直线l 1： x +3y —4=0和l 2：5x +2y+1=0的交点Q ；(2) 经过两条直线l 1： 2x +y —8=0和l 2：x —2y+1=0的交点且与直线4x —3y —7=0平行；(3) 经过两条直线l 1： 2x —3y +10=0和l 2：3x +4y —2=0的交点且与直线3x —2y +4=0垂直；（7）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB =（8）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线1:0l Ax By C ++=的距离2200BA CBy Ax d +++=（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

对于0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 来说：d =。

例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。

例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

(10) 对称问题1)中心对称 A 、若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称，则由中点坐标公式得112,2.x a x y b y =-⎧⎨=-⎩ B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用12//l l ，由点斜式得出所求直线的方程。

2)轴对称 A 、点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上，而且连结12P P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组121212120,22,x x y y A B C y y B x x A++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,)A x x ≠≠。

B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。

例1：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标(2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。

(4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为。

11. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(221xx+，221yy+)例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程直线方程练习题1．过点(1,3)-且平行于直线032=+-yx的直线方程为_____________ 2．若直线x+a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=__________________3、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为________________4、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是___________________5、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是______________6. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程__________________7两直线2x+3y－k=0和x－ky+12=0的交点在y轴上，则k的值是_________________8、两平行直线0-=+yxx与的距离是_______________y+-9263=49、已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。