函数与方程思想的典型例题 [例1]设函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数βα,有，且21)3(=πf ，0)2(=πf . (1)求证：)()()(x f x f x f --==-π；(2)若20π<≤x 时，0)(>x f ，求证：)(x f 在],0[π上单调递减；(3)求)(x f 的最小周期并*证明.[解析](1)),0()3(2)3()3(f f f f πππ=+ 且21)3(=πf ，1)0(=∴f . 又)()0(2)()(x f f x f x f =-+，)()(x f x f -=∴.)2()2(2)()(πππ-=-+x f f x f x f ，且0)2(=πf ，)()()(x f x f x f --=-=∴π. (2))()(x f x f =-且20π<≤x 时，0)(>x f ，∴当22ππ<<-x 时，0)(>x f . 设π≤<≤210x x ，则)()()()(2121x f x f x f x f -+=-π)2()2(22121ππ-+-+=x x f x x f . 222,2202121πππππ<-+<-<+-≤x x x x ，0)2(,0)2(2121>-+>-+∴ππx x f x x f . )()(21x f x f >∴，即)(x f 在],0[π上单调递减.(3)由(1))()(x f x f --=-π得)()(x f x f +-=π，)2()(x f x f +-=+ππ， )()2(x f x f =+∴π，说明π2是原函数的一个周期.假设0T 也是原函数的一个周期，且)2,0(0π∈T ，则由)()(0x f x T f =+得)()0(0T f f =.但若],0(0π∈T 时，因原函数是单调递减函数，所以)()0(0T f f >，两者矛盾；若)2,(0ππ∈T 时，),0(20ππ∈-T ，从而)()()2()0(000T f T f T f f =-=->π，两者矛盾，所以0T 不是原函数的一个周期，即π2是原函数的最小正周期.[答案]见解析[例2]已知函数f(x)=x 2–(m+1)x+m(m ∈R)(1)若tanA 、tanB 是方程f(x)+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角.求证：m≥5；(2)对任意实数α，恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3； (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m 的值.[解析](1)证明：f(x)+4=0即x 2–(m+1)x+m+4=0.依题意：⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m ，又A 、B 锐角为三角形内两内角， 2π＜A+B ＜π.tan(A+B)＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A . ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m .∴m≥5. (2)证明：∵f(x)=(x –1)(x –m)，又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x –1)(x –m)≤0.∴m≥x 但x max =3，∴m≥x max =3.(3)∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=4)1()21(sin 22+-++-m m m α，且21+m ≥2， ∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8，即1+(m+1)+m=8，∴m=3.[答案]见解析[例3]两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.[解析]解法一：(1)如图所示，由题意知AC ⊥BC ，22400BC x =-，224(020)400k y x x x =+<<-，其中当102x =时，y=0.065， 所以k=9.所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x=+<<-.(2)2249400y x x =+-，42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--，令'0y =得422188(400)x x =-，所以2160x =，即410x =，当0410x <<422188(400)x x <-， 即'0y <所以函数为单调减函数，当620x <时，422188(400)x x >-，即'0y >所以函数为单调增函数.所以当410x =C 点到城A 的距离为10时，函数2249(020)400y x x x=+<<-有最小值. 解法二：(1)同上.(2)设22,400m x n x ==-，则400m n +=，49y m n=+， 所以494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=当且仅当49n m m n =即240160n m =⎧⎨=⎩时取”=”. 下面证明函数49400y m m=+-在(0，160)上为减函数，在(160，400)上为. 0<m 1<m 2<160，则1211224949()400400y y m m m m -=+-+-- 12124499()()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249()[](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=--- 因为0<m 1<m 2<160，所以412(400)(400)m m -->4×240×240， 9 m 1m 2<9×160×160，所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m --->--.所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--，即12y y >，函数49400y m m =+-在(0，160)上为减函数.同理，函数49400y m m =+-在(160，400)上为增函数，设160<m 1<m 2<400，则1211224949()400400y y m m m m -=+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---. 因为1600<m 1<m 2<400，所以412(400)(400)m m --<4×240×240，9m 1m 2>9×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m ---<--.所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--，即12y y <，函数49400y m m =+-在(160，400)上为增函数.所以当m=160即410x =时取”=”，函数y 有最小值. 所以弧上存在一点，当410x =时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小.[答案]见解析[例4]有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(*x N ∈)，()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.(1)证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]， (121,127]，(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.[解析] (1)证明：当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时，，而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0，故(1)()f x f x +-单调递减.∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降.(2)由题意可知0.1+15ln 6a a -=0.85，整理得0.056a e a =-. 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈-.由此可知，该学科是乙学科. [答案]见解析。