函数及其表示考点一 求定义域的几种情况①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ；②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N*，则从A 到B 的映射个数为nm。
简单说成“前指后底”。
方法技巧清单方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数234y x x =--+的定义域为ﻩ ﻩﻩ ( )Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]-解析 由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C ５.求下列函数的定义域。
①y=22+•-x x .②ｙ＝()xx x -+12.③y=x x -+-116.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。
1.下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=55x和xy 2=B ．y ＝ｌnex和exy ln =Ｃ.()()()()3131+=-+-=x y x x x y 和D.xxy y 01==和２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y=22-x定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为方法三 分段函数的考察 ⅰ求分段函数的定义域和值域２ｘ+２ x []0,1-∈1求函数f(ｘ)=x 21-ｘ()2,0∈的定义域和值域3 x [)+∞∈,22(2010天津文数）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A)9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ (B)[0,)+∞ (C)9[,)4-+∞(D)9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【解析】依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或 ⅱ求分段函数函数值3.（2010湖北文数）３.已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.４ Ｂ.14ﻩＣ.-4ﻩﻩﻩﻩＤ－14【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-,则211(())(2)294f f f -=-==,所以Ｂ正确． ⅲ解分段函数不等式 4.(2０09天津卷文)设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ) A.),3()1,3(+∞⋃- B ．),2()1,3(+∞⋃- C.),3()1,1(+∞⋃- D ．)3,1()3,(⋃--∞ 答案 A 解析 由已知,函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f解得3,1==x x。
当0<x ，3,36-==+x x 故3)1()(=>f x f ,解得313><<-x x 或5.(2009天津卷理)已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a的取值范围是 A(,1)(2,)-∞-⋃+∞ Ｂ(1,2)- C(2,1)-D(,2)(1,)-∞-⋃+∞解析:由题知)(x f 在R 上是增函数，由题得a a >-22,解得12<<-a ,故选择C 。
6.（200９北京理)若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________＿___. 解析 (1)由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩．(2）由001|()|01111133333x x x x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩. ∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤,∴应填[]3,1-． 7。
(20１０天津理数)若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)＞f(-ａ),则实数ａ的取值范围是(Ａ)(－1,0)∪（0,1） （B ）（－∞,-1)∪(1,+∞） （C)（-１,０)∪（1,+∞） (Ｄ)(－∞，-1)∪(0,1) 【答案】Ｃ由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。
2112220a<0()()log log log ()log ()a f a f a a a a a >⎧⎧⎪⎪>-⇒⎨⎨>->-⎪⎪⎩⎩或001-10112a a a a a a a <>⎧⎧⎪⎪⇒⇒><<⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或或 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在（0,1)上时,不等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程８.（20０9北京文）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查． 由31log 232xx x ≤⎧⇒=⎨=⎩，122x x x >⎧⎨-=⇒=-⎩无解，故应填3log 2.１. (200９山东卷理）函数x xxxe ey e e --+=-的图像大致为 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ( )．解析 函数有意义,需使0xxee--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C ，D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.D2．(2０0９广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示)．那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是ﻩ（ )Ａ. 在1t 时刻,甲车在乙车前面 Ｂ.1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻,两车的位置相同 D ．0t 时刻后,乙车在甲车前面解析 由图像可知，曲线甲v 比乙v 在０~0t 、０～1t 与x 轴所围成图形面积大， 则在0t 、1t 时刻,甲车均在乙车前面，选A.3.（20０９江西卷文）如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()VV t =的图象大致为 ( )A B C Ｄ解析 由图可知，当质点(,)P x y 在两个封闭曲线上运动时,投影点(,0)Q x 的速度先由正到0、到负数，再到０,到正,故A 错误;质点(,)P x y 在终点的速度是由大到小接近０，故D 错误；质点(,)P x y 在开始时沿直线运动,故投影点(,0)Q x 的速度为常数，因此C 是错误的,故选B ．4(２010山东理数）(11)函数y =2ｘ －2x 的图像大致是【解析】因为当ｘ=2或4时，2ｘ -2x =0,所以排除B 、C;当x=-2时，2x －2x =14<04-,故排除D,所以选Ａ。
5(20１０安徽文数）设0abc >，二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是O ()t t O ()V t t O ()V t tO ()V t t yxO(,)P x y (,0)Q x【解析】当0a>时,b 、c 同号，(C ）(D)两图中0c <，故0,02bb a<->，选项（D)符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑．另外还要注意c 值是抛物线与ｙ轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.1.（２0０9全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则()A.()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C.()(2)f x f x =+Ｄ.(3)f x +是奇函数答案 Ｄ解析(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--, ∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称,函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+,即(3)f x +是奇函数。
故选D２.（２009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足ｆ(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x , 则f(２00９）的值为ﻩﻩﻩﻩ( ）Ａ.－1 B. ０ C.1 D ． 2 答案 C解析由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(ｘ)的值以6为周期重复性出现．,所以f （２00９）＝ f （5）＝1，故选C ． 3.（200９江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）,且当[0,2)x ∈时,2()log (1f x x =+）,则(2008)(2009)f f -+的值为ﻩﻩﻩﻩ ﻩA ．2- B.1- C ．1 D.2 答案 Ｃ解析1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=，故选Ｃ．方法九 函数奇偶性和对称性考察 １.（２00９全国卷Ⅱ文）函数22log 2xy x-=+的图像 ﻩ ﻩﻩﻩ（ ) （A ） 关于原点对称（Ｂ）关于主线y x =-对称(C) 关于y 轴对称 (D)关于直线y x =对称答案 A 解析 由于定义域为（－2，２)关于原点对称,又f （-x)=-f （x ），故函数为奇函数，图像关于原点对称,选Ａ。