高中函数大全一元二次函数定义域区间定义对应法则一元二次不等式值域指根式分数指数映射数函数指数函数的图像和性质指数方程对数方程函数性质奇偶性单调性对数的性质积、商、幂与周期性根的对数对数反函数互为反函数的函数图像关系对数对数恒等式和不等式函数常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念(1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A(2)函数的定义域、值域在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x A称为函数y f(x)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R，B{y|y0}，f:x y|x|；（2）*A{x|x2,x N}，B y|y0,y N，2f:x y x2x2；（3）A{x|x0}，B{y|y R}，f:x y x．上述三个对应是A到B的映射．例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（）(A)8个(B)12个(C)16个(D)18个考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2f(x)x，3 3 g(x)x；（2）xf(x)，xg(x)11xx0,0;（3）212 1n x nf(x)，2n x)12n1*）；g(x)(（n∈N2（4）f(x)x x1，g(x)x x；2x2t （5）()2 1f x x，g(t)t2 1 考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数 f [ g(x)] 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f (x) 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式2 x例1．已知二次函数 f (x) 满足(2 1) 4 6 5f x x ，求f (x) （三种方法）1 x 例2．（09 湖北改编）已知)f ( =1 x 112x2x，则 f (x) 的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式1例1．已知函数 f (x) 满足( x ，求 f (x)f x) 2 f ( ) 3x考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
1 2 2例1. （08 年湖北）函数 f (x) ln( 3 2 3 4)x x x xx的定义域为( )A. ( , 4) [2, ) ;B. ( 4,0) (0 ,1) ；C. [, 4,0 )(0 ,1] ;D. [, 4,0) ( 0,1)题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设 f x2 xlg ，则2 xfx2f2x的定义域为（）A. 4,0 0,4 ；B. 4, 1 1,4 ；C. 2, 1 1,2 ；D. 4,2 2,4例2．已知函数y f (x)的定义域为[a，b] ，求y f ( x 2) 的定义域例3．已知y f (x2) 的定义域是[a，b] ，求函数y f ( x) 的定义域例4．已知y f (2x 1) 的定义域是（-2，0），求y f (2x 1) 的定义域考点5：求函数的值域1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数y sin 2 x 2cos x4，可变为y sin 2 x 2cos x 4 (cos x 1)2 2解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，2 2x如函数 y log 1 ( x2x 3) 就是利用函数 yulog和u x23的值域来求。
122（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数2x 1313 313y的值域 [ , ] 2xx2222（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数2cos x 3y的值域，因为cos x 1（5）利用基本不等式求值域： 如求函数3xy的值域2x4 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数 y2x 4x 22(x [ 1,2]) 的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数， 如 求函数 3 2f (x) 2x 4x 40x ， x [ 3,3] 的最小值。
（－ 48）（9）对勾函数法 像 y=x+ m x，（m>0）的函数， m<0 就是单调函数了三种模型：（1）如y x4 x，求（ 1）单调区间（ 2）x 的范围 [3,5] ，求值域（ 3）x[-1,0 ) (0,4], 求值域（2）如y x4 x 4 ，求（ 1）[3,7] 上的值域（2）单调递增区间（ x 0 或 x 4）1（3）如y 2x， （1）求[-1,1] 上的值域（2）求单调递增区间 x3函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义： 设函数 yf (x) 的定义域为 A ，区间 I A ，如果对于区间 I 内的任意两个值x ， x 2 ，当 x 1x 2 时，都有1f (x 1) f (x 2 ) ，那么就说 yf ( x) 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 y f (x) 的单调增区间； 如果对于区间 I内的任意两个值 x 1 ， x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f (x 1 ) f (x 2 ) ，那么就说 yf ( x) 在区间 I 上是单调减函数， I称为 yf (x) 的单调减区间。
如果用导数的语言来， 那就是： 设函数 y f (x)，如果在某区间 I 上 f (x) 0 ，那么 f (x) 为区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上 f (x)0，那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法 （取值――作差――变形――定号） ；②导数法 （在区间 (a,b) 内， 若总有 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；反之，若f (x) 在区间 (a, b )内为增函数，则 f (x) 0 ，b （2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意( 0y ax ax ,b 0) 型函数的图b b象和单调性在解题中的运用：增区间为( , ],[ , )a a（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减b b，减区间为[ ,0),(0, ]a a.（4）若 f (x) 与g (x) 在定义域内都是增函数（减函数），那么 f (x) g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的x，x2 有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1 x2 (x1 x2 )；三是同属于1一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y 1x分别在( ,0)和(0, )内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即( ,0) (0, )内是单调递减的，只能说函数y 1x的单调递减区间为( ,0) 和(0, )。
4、函数的最大（小）值设函数y f (x) 的定义域为A，如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有f ( x) f (x0 ) 恒成立，那么称f 为y f (x)的最大值；如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有 f (x) f (x0 ) 恒成立，那么称(x0 )f (x0 ) 为y f ( x) 的最小值。
（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．（1）求函数 2y log ( x 3x 2) 的单调区间；0.7（2）已知 2f (x) 8 2x x , 若2g( x) f (2 x ) 试确定g( x) 的单调区间和单调性．例2. 判断函数f(x)= 12x 在定义域上的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数 f (x) 的定义域是x 0的一切实数，对定义域内的任意x1, x2 都有f (x x ) f (x ) f (x ) ，且1 2 1 2 当x 1时 f (x) 0, f (2) 1，（1）求证： f (x) 是偶函数；（2）f (x) 在(0, ) 上是增函数；（3）解不等式 2f (2 x 1) 2 ．题型3：函数的单调性的应用例1．若函数 f ( x) x2 2(a 1)x 2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是______例2．已知函数 f ( x) a xx1在区间2, 上为增函数，则实数 a 的取值范围_____ 2考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。