高三第二次模拟 数学（理）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)3
2sin()(π
+
=x x f 的最小正周期是__________．
2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（理）已知集合{}{}
331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围
是 ． 4．已知复数z 满足
1
i
z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：12
20132013
201320132013124(2)C C C -+-
+-=___________．
6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过
7．设1,0≠>a a ，行列式3
4210
2
3
1D -=x
a
中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ．
8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值
是 _______．
9．（理）已知135sin ,53)cos(-==
-ββα，且)0,2
(),2,0(π
βπα-∈∈，则 ______sin =α．
10．（理）设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]
1,0[,1)
0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得
几何体的体积为____________．
11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2
且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．
12．（理）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|1|1
)(x x x x f ，若关于x 的方程
理第
8题，
0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则2
3
2221x x x ++=____________．
13.（理）函数1
sin )1()(2
2+++=x x
x x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．（理）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式2
1222ma n
S a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及
任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______
二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）
15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要
条件是 （ ）
A ．
12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2
121b b a a = D.1221b a b a = 16.（理）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //
B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥
C ．若,//,//ααm l 则m l //
D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m
17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2
2
12
y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样
的直线 （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18. （理）已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++
=在区间),(+∞-∞上既是奇
函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是 ( )
三．解答题（本大题满分74分，共5小题）
19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π
<≤
；
（2）求1sin 2sin cos B
y B B
+=+的取值范围．
21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x
x
且是定义域为R 的奇函数．
（1）求k 的值； （2）（理）若2
3)1(=
f ，且)(2)(22x f m a a x
g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且
QP QF FP FQ ⋅=⋅．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；
（3）（理）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD
为等
A
B C
D
边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，
c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．
（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；
（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由； （3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小．。