数学检测卷（理）姓名----------班级----------总分------------一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．1．若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =（ ）（A ）[1,0]-（B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞-2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）（A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。

A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f),,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+,则)()()(22221n x f x f x f +++ 的值等于（ ）(A)21(B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-86. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ）(A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13127. ．直线21y x =-+上的点到圆224240x y xy ++-+=上的点的最近距离是 A ．5 B ．15+ C ．15- D ．18. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区（第6题）域Ω上随机投一点P ， 则点P 落入区域A 的概率为（ ） A ．31 B ．32 C ．91 D ．929.已知平面αβγ、、，直线m 、l ，点A ，有下面四个命题： ①若，，则与l m A l m ⊂=αα 必为异面直线； ②若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；③若l m l m ⊂⊂αββααβ，，∥，∥，则∥；④若αγγαγβα⊥，，，⊥，则⊥ ==m l l m l 。

其中正确命题的个数是 A. 3 B. 2 C . 1 D. 010．若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．[]2,2- C ．(),1-∞- D ．()1,+∞11．已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值范围为（ ）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()1,1-12半径为2的球面上有D C B A ,,,四点，且AD AC AB ,,两两垂直，则三个三角形面积之和ABC S ∆+ACD ADB S S ∆∆+的最大值为（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32二．填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卷的相应位置． 13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样 本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 _______ . 14. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形， 俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 _______ . 15. 有下列命题：①存在(0,)2πα∈使31cos sin =+a a ；②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0； ③x y tan =在其定义域内为增函数；④cos 2sin()2y x x π=+-既有最大、最小值，又是偶函数；⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π.其中错误的命题的序号为 .16. 直线022=-+y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 ________ .三． 解答题: 本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本小题满分12分）某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.（Ⅰ）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（Ⅱ）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，此时该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.18．（本小题满分12分）已知数列的前项n 和为n S ，对一切正整数n ，点(n, n S )都在函数42)(2-=+x x f 的 图象上.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n n n a a b 2log ⋅=，求数列{}n b 的前n 项的和.n T19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面的菱形，60BCD ︒∠=，点E 是BC 边的中点，AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面 （1）求证：PD BC ⊥；（2）若63,62AB PC P AD C ==--，求二面角的大小； （3）在（2）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）已知函数x x f ln 6)(=(0)x >和2()8g x ax x b =+-(a 、b 为常数)的图象在3=x 处有公共切线.(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值.（Ⅲ）若关于x 的方程()()f x g x =有且只有3个不同的实数解，求b 的取值范围。

21. （本小题满分12分）设直线过抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，且交C 于点N M ,， 设)0(>=λλFN MF ．（Ⅰ）若2=p ，4=λ，求MN 所在的直线方程； （Ⅱ）若2=p ，94≤≤λ，求直线MN 在y 轴上截距的取值范围;（Ⅲ）抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，求证：EF 与EN EM λ-的夹角为定值.22选做题：本大题共3小题，请从这3题中选做1小题，如果多做，则按所做的第一题记分．每小题10分．1．（几何证明选讲）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．2．（坐标系与参数方程）求经过极9(0,0),(6,),)24O A B ππ三点的圆的极坐标方程.3．（不等式选讲）对于任意实数a （a ≠0）和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|恒成立，试求实数x 的取值范围．（第21题）数学（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分）C 二、填空题（每小题5分，共20分）13.150 14. ①②③⑤ 15、 π 16、552三、解答题17（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A , 则其概率为.74)(271314==C C C A P …………………………………………5分 （Ⅱ）随机变量4,3,2=ξ;72)2(2724===CC P ξ ……………………6分;74)3(271314===C C C P ξ …………………………7分 ;71)4(2723===C C P ξ ………………………………8分∴随机变量ξ的分布列为∴.720714743722=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………12分（18）（本小题满分12分）（I ）由题意，422-=+n n S ， 当2≥n 时，1121222+++-=-=-=n n n n n n S S a ， ……………………………3分 当1=n 时，442311=-==S a 也适合上式，∴ 数列{}n a 的通项公式为++∈=N n a n n ,21. ………………………………5分（II ）∵ n n a b =•.2)1(log 12+⋅+=n n n a∴ 14322)1(2242322+⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ①2215432)1(2242322++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ② ……………………7分 ②－① 得，214322)1(2222++⋅++-----=n n n n T ………………………8分21332)1(21)21(22+-⋅++----=n n n21332)1()12(22+-⋅++---=n n n.2222)1(2132+-+⋅=⋅-⋅+=n n n n n ……………………12分19（本题满分12分） 解：解答一：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 则BCD ∆是等边三角形。

E BC DE BCPO ABCDOD PD ABCD PD BC∴⊥⊥∴∴⊥点是边的中点平面是斜线在底面内的射影----3（2）DE BC ⊥由（1）知//16322336363323ABCD AD BCDE ADPO ABCD DE PD ABCD PD ADPDO P AD C ABCD AD DE BCD E BC AC BD O BCD AB BDC DO DE BC ∴⊥⊥∴⊥∴∠--⊥∆∴∆=∆==⋅==菱形中，又平面，是在平面的射影为二面角的平面角在菱形中，，由（）知，为等边三角形点是边的中点，与互相平分点是重心又在等边中，（3）取AD 中点H，连结,HB HP662,66tan 164--4OC OD PC PO PO Rt POD PDO DO PDO P AD C ππ∴===∴=∴∆∠===∴∠=∴在中，二面角的大小为-------82222222//3363799662292cos 24HB DEHB PB DE PB OH OBPO ABCD OH OB ABCD PO OH PO OBRt DOH HD OD OH Rt PHO PH PO OH Rt POB OB OC PB PO OB DE HB HB PB HB PB PH HB PB αα∴⊥⊂∴⊥⊥∆==∴=∆=+=∆===+===+-==⋅⋅∴则与所成角即是与所成角连结，平面，，平面，，在中，，，在中，在中，，由（）可知设与所成角为，则24PB DE 异面直线、所成角的余弦值为---12解法二：（1）同解法一；（2）过点O 作AD 平行线交AB 于F ,以点O 为坐标原点,建立如图的坐标系(63,6,0),(33,3,0),(33,3,0),(0,6,0),(0,0,6)(63,0,0),(0,6,6)(,,)00066063000,0(0.1,1)(0A B C D P AD PD PAD s a m n s PD s AD a m m a m n a m ns OP ∴---∴=-=--=⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⋅--=⎧⎪⎨-⋅+⋅+⋅=⎪⎩=⎧∴⎨=-⎩=-=设平面的一个法向量为则即不妨取,0,6)2cos ,2||||ADC s OP s OP s OP ⋅∴<>==⋅是平面的一个法向量，二面角P AD C --的大小为4π---------------8分（3）由已知，可得点(0,3,0)E(33,3,6),(0,9,0).2cos ,4||||PB DE PB DEPB DE PB DE ∴=-=⋅∴<>==⋅即异面直线PB DE 、所成角的余弦值为4------12分20解：（Ⅰ）xx f 6)(=',82)(+='ax x g ，根据题意，得)3()3(g f '=' 解得1-=a .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分（Ⅱ）2()()()6ln 8F x f x g x x x x b =-=+-+。