曾谨言量子力学第五版答案【篇一：量子力学第四版卷一 (曾谨言著)习题答案】量子力学的诞生1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。

2p?2m[e?v(x)]v()n?1,2,?,解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1）其中a 由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a?1m?2a2。

?a 0 a x 22e/m?2 ，（2）x??a即为粒子运动的转折点。

有量子化条件p?得a?2a2?nh代入（ enx,y,z轴三个xxx即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期）pxnxh/2a,同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,nx,ny,nz?1,2,3,?粒子能量enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnyn?? ?2?z22??abc??nx,ny,nz?1,2,3,?1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。

提示：利用2?2p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。

转子的能量e?p?/2i。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。

按量子化条件 .2?p?dx?2?p?mh,m1,2,3,因而平面转子的能量p??mh，2em?p?/2i?m2?2/2i，m?1,2,3,?1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值.,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单bevc又利用量子化条件,令电荷角动量转角2?pdq??mrvd??2?mrv?nh (2)12be?nmv? 22mc即 mrv?nh(3) 由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能 v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*b=,v是电荷的旋转频率, v?,代入前式得2?rcccbe?n(符号是正的) 2mcbe?n点电荷的总能量=动能+磁势能=e= ( n?1,2,3)2mc运动电荷的磁势能=1.5，1.6未找到答案1.7（1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律nsin??nsin?112（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理射定律0这将导得下述折nsin??nsin?1331媒质到另一种媒质e仍不变，仍有?e是粒子能量，从一种?pdl?0a到定点b的i?n设ai?n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而，?12存在约束条件：atg?1?btg?2?c（2）求(1)的变分,而将,12看作能独立变化的,有以下极值条件in1asec1tg1d1n2bsec2tg2d20 (3)再求（2）的变分asec22bsec1d12d2c0(3)与(4)消去d和d?1222得nsin??nsin?1(5)[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: i?n1a2?x2?n2b2?(c?x2)求此式变分,令之为零,有： ?i?x?x1a?x22(c?x)?x2(cx)22这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度 vg光程原理作?,依前题相速vpc2v,而vgc2gvcn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用p量原理仍可以化成最小光程原理.ndl?0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m)(3).计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:qih,本题中iqiv,p?p,因而im2c4?c2p2?v??pc2pmc?cp2422(4)从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vg间的关系.运用德氏的假设: p??k于(3)式右方, 又用e于(3)式左方,遍除h:m2c422ck??(k) 2按照波包理论，波包群速度vg是角频率丢波数的一阶导数：vg?k=m2c422ck 2c2kmc22ck224c2pmc?cp2422最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而又按一般的波动理论，波的相速度vgv。

vg是由下式规定vpk（?是频率）利用（5）式得知m2c42??c?c （6）vp?2k2e?p补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，,x?0,x?av(x)??0,0?x?a?试用de broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

【篇二：《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)1】/p> ??,x?0,x?a1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， v(x)??0,0?x?a?试用de broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a?n?2(n?1,2,3,?)2a/n （1）又据de broglie关系 p?h/?（2）而能量e?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n22m?4a22ma2n1,2,3,（3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x方向，有pxdxnxh,nx1,2,3,即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期）pxnxh/2a,同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,nx,ny,nz?1,2,3,?粒子能量 enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2mnx,ny,nz?1,2,3,?222??nxnynza2b2c21.3设质量为m的粒子在谐振子势v(x)? 提示：利用 p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。

2p?2m[e?v(x)]v()n?1,2,?,解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1）其中a由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a?1m?2a2。

?a 0ax 22e/m?2 ，（2）x??a即为粒子运动的转折点。

有量子化条件p?dx?2?dx2ma2m?a2?得a?22ma2nhnh2?n（3） m??m?代入（2），解出 en?n??,n?1,2,3,?（4）ua2u22a?udu?a?u?arcsin?c22a22积分公式：2?1.4设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。

提示：利用2p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。

转子的能量e?p?/2i。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。

按量子化条件 .2?p?dx?2?p?mh,m1,2,3,因而平面转子的能量p??mh，2em?p?/2i?m2?2/2i，m?1,2,3,?第二章波函数与schr?dinger方程2.1设质量为m的粒子在势场v(r?)中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为 e??d3r??，22m*?*v?（能量密度）（b）证明能量守恒公式 ?w?ts?0???2???*s?2m*tt???（能流密度） ?证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）2e?*2?2m??vd3r?t?v（1）v??d3r?*v?（势能平均值）（2）t??d3r?*22?2m(动能平均值) 22md3r**其中t的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。

?2t?2md3r*（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度22m*?*v?, （4）且能量平均值 e??d3r?? 。

（b）由（4）式，得2...t2m*?v???*v????t?t??tt2?.2m.*?.?.22*?.t?t???tt??v???*vt?t.2???.s???22?*?t???2m?2vt2mvs?e???.???.*t???t??因此s?e? （? ：几率密度）ts （定态波函数，几率密度?不随时间改变）所以ws?0 。

?t2.2考虑单粒子的schr?dinger方程22?i??r,tr,t???v1?r??iv2?r????r,t?（1） ?t2mv1与v2为实函数。

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为2v2d3***drds??????dt?2ims?3*dr?? ???证：（a）式（1）取复共轭，得*22*v1?iv2??* （2） ?it2m*（1）-??（2）,得*2*2i2?*?2i?*v2??t2m2**?2iv2?*?2m2v?*?*??????*??2??*??（3） ?t2im?2v2j0 ，即 ?t?此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积?积分，得23***33*dr?dr?drv2?t?2im 2**3*ds?drv??2???2ims??上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积?的几率（j?ds ），而第二项代表体积?中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设?1和?2是schr?dinger方程的两个解，证明d?*?3dr?r,t?r,t??0。

12dt?1??22证： ?iv?1（1） t?2m?2??22iv2（2） t?2m?取（1）之复共轭： ?i*1?t??22*2mv12（3）??*1?（2）,得i2*2*t122m2*11?2?2?对全空间积分：id3*2dtdr32**21?r,t??2?r,t?2mdr211223*2mdr21*122*1*12??2d3r*2m21*1222m**?2112ds0，（无穷远边界面上，?1,?2?0）即 ddt d3r*1r,.t??2r,t?0。

2.4）设一维自由粒子的初态??x,0??eip0x/?，求??x,t?。

i??解： ??x,t??e?pp2?0x02mt/2.5 设一维自由粒子的初态??x,0x?，求?x,t?2。

提示：利用积分公式cos2d2d2sin?（3）【篇三：量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)】>1、一维运动问题的一般分析(general analysis for 1d problems)一、一维定态薛定谔方程的解的一般性质(general properties of solutions of stationary 1d schr?dinger equation ) 考虑质量为m的粒子在势场v(x)中运动，薛定谔方程为22d?(x)v(x)是哈密顿量。