. 计算机数学基础(2)作业3选解一、单项选择题1. 求积公式)1()1(f f I n +-=在[－1,1]上是( )次代数精度的． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 答案：A ．解答：详细判断过程同“四、证明题：1”．2. 对于( )次的代数多项式,求积公式∑⎰=≈nk k kba x f Ax x f 0)(d )(精确成立,称具有m 次代数精度的. A ． m B ． 不超过m C ． 小于m D ． 大于m 答案：B ．解答：见教材第12章12.1节关于m 次代数精度的定义1．3. 当n =4时,复化抛物线求积公式≈⎰ba x x f d )(( )．A ．3a b -[f (x 0)+ f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)+ f (x 4)] B ． 12a b -[f (x 0)+4( f (x 1)+ f (x 3))+2f (x 2)+ f (x 4)] C ． 6a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)]+ f (x 4)] D ．3a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 3))+4f (x 2)+ f (x 4)]答案：B ．解答：牛顿－科茨求积公式的所有系数之和等于积分的区间长度．以此检查各个选项，只有选项B 正确．4. 已知x =0,1处的函数值f (0)和f (1),那么f '(1)≈( )．A ．f (0)－f (1)B ． )0()1(f f -C ． f (0)D ．)]1()0([21f f +答案：B ．解答：见教材第12章12.4节等距节点两点求导公式(4.4)． 二、填空题1.科茨系数)(n k C 具有性质 和 ．答案：∑=nk n k C 0)(＝1；)()(n k n n kC C -=．解答：见教材关于科茨系数的两条性质，∑=nk n k C 0)(＝1称为归一性．)(n k C 与a ，b 无关，)()(n kn n kCC-=(称为对称性)．4. 已知f (x 0)=y 0, f (x 1)=y 1, f (x 2)=y 2,用三点求导公式,有f '(x 0)= , f '(x 1)= , f '(x 2)= , 答案：)34(21)();(21)();43(21)(21022012100y y y hx f y y hx f y y y hx f +-≈'+-≈'-+-≈'解答：见教材第12章12.4节等距节点三点求导公式(4.6)． 三、计算题1. 分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分⎰=1d e x I x的近似值．解 将85915.1)1783.21(21d e 1≈+≈=⎰x I xT用复化梯形求积公式，25.0=h ．有⎰=1d e x I xT ≈7272.1]7183.2)117.26487.1284.1(21[225.0≈++++用抛物线求积公式，h ＝0.5，则有71885.1]1783.26487.141[35.0d e 10=+⨯+≈=⎰x I xS用复化抛物线求积公式化，h =0.25，则有7183.1]7183.26487.12)117.2284.1(41[325.0d e 10≈+⨯++⨯+≈=⎰x I xS用科茨求积公式，有71827.1)7183.27117.2326487.112284.13217(901d e 10≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈=⎰x I xC 精确解⎰=1d e x I x＝e ≈2.718282. 用两点高斯求积公式计算积分⎰+12d 1x x ．解 因为这不是[－1，1]区间上的积分计算，因此需作变换，令212+=u x ，则u=2x －1．当x =1时，u =1;当x =0时，u =－1．有x x d 112⎰+＝u ud )221(121112⎰-++两个节点，查表得到高斯点x 0,1=±0.5773502692，系数A 0,1=1．代入公式x x d 112⎰+＝+-+2)25773502692.021(1[21])25773502692.021(12++＝21(1.022085221+1.273580962)=1.147833092说明：(1)x x d 112⎰+＝2112)5773502692.0(1[21d 121-+≈+⎰-x x+154700538.1])5773502692.0(12=+是不对的．这时因为作变换后，函数y =2)221(1u ++在[－1,1]上并不对称，按对称计算21u y +=不对．（2） 事实上：1))1ln(1(21d 122102x x x x x x ++++=+⎰＝147793575.12)21ln(2=++4. 将区间[0,1]分成8等分,分别用复化梯形法和复化抛物线公式计算积分 ⎰+=12d 1x x I⎰+=12d 1x x I148725.1]9827.724142.2[0625.0)]3288.125.11793.1118.1068.10308.10078.1(24142.11[2125.0=⨯+⨯=++++++++≈用复化抛物线求积公式，h =0.125，有 ⎰+=12d 1x x I8147.1]8398.329583.442414.2[3125.0)]25.1118.18030.1(2)8328.13179.1068.18007.1(42414.11[3125.0≈⨯+⨯+⨯=++++++++≈ 5. ⎰=6.28.1d )(x x f I解 由题设可知，步长h =0.2，用复化梯形公式，46675.1012014.3[22.04+≈T +2×(4.42569+6.04241+8.03014)] =58337.501.0⨯=5.05834 复化抛物线公式，46675.1012014.3[32.04+≈S +4×(4.42569+8.03014)+2×6.04241] =49503.7532.0⨯=5.03300 科茨公式，)46675.1012014.3(7[908.04+⨯≈C +32×(4.42569+8.03014)+12×6.04241] =]50892.7245583.123258689.137[908.0+⨯+⨯=5.03292 四、证明题1.验证科茨求积公式)](7)(32)(12)(32)(7[90d )(43210x f x f x f x f x f a b x x f b a++++-≈⎰具有5次代数精度，其中.4),4,3,2,1,0(a b h k kh a x k -==+=证明 43,2,434,3210a b x b a x ba ab a x a x +=+=+=-+==,x 4=b ．)](7)43(32)2(12)43(32)(7[90d )(b f b a f b a f b a f a f a b x x f b a+++++++-≈⎰当f (x )=1时，(*)式左边＝b －a ,(*)式右边＝a b a b -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-]1713211213217[90＝左边当f (x )=x 时，(*)式左边＝2d 22a b x x ba-=⎰(*)式右边＝]7433221243327[90b b a b a b a a ab ⋅++⋅++⋅++⋅+-＝)(4590b a a b +⋅-＝左边当f (x )=x 2时，(*)式左边＝3d 332a b x x ba-=⎰(*)式右边＝]7)43(32)2(12)43(327[9022222b b a b a b a a a b +++++++-＝)(309022b ab a a b ++⋅-＝左边当f (x )=x 3时，(*)式左边＝4d 443ab x x ba-=⎰(*)式右边＝]7)43(32)2(12)43(327[9033333b b a b a ba a ab +++++++-＝)(245903223b ab b a a a b +++⋅-＝左边 可以验证，当f (x )=x 4，x 5时，均有(*)式的左边＝(*)式的右边，而当f (x )＝x 6时，(*)式的左边≠(*)式的右边． 故原求积公式具有5次代数精度．5. 证明求积公式对于函数f (x )和g (x )精确成立, 则对于函数αf (x )+βg (x ) (α,β是常数)也精确成立. 证明 设求积公式 ∑⎰=≈nk k kb ax h Ax x h 0)(d )( (*)对f (x ),g (x )精确成立，有∑⎰==nk k kb ax f Ax x f 0)(d )(，∑⎰==nk k kba x g Ax x g 0)(d )(以上两式分别乘α,β，再相加，得到⎰b ax x f d )(α+⎰bax x g d )(β＝∑=nk k k x f A 0)(α+∑=nk k k x g A 0)(β=])()([0∑=+nk k k k x g x f A βα因为⎰+b ax x g x f d )]()([βα＝⎰b ax x f d )(α+⎰bax x g d )(β＝])()([0∑=+nk k k k x g x f A βα所以，求积公式对)()(x g x f βα+也精确成立．。