−1 = 10-17s，g3＝3，g2＝5， µ1 ≈ 1 ,又知 E2、E1 能级数密度之比为 4，求此介质 t自发 ＝ A21
的增益系数 G 值。 答：
n0 = n1 + n2 = 1012 cm −3
11 ⎫ ⎧ g2 14 ⎪n1 = 2 × 10 ⇒ ⇒ ∆ n = n − n = × 1011 ⎬ ⎨ 2 1 11 g1 3 E 2 和E1能级数密度之比为4比1⎭ ⎪ ⎩n 2 = 8 × 10
1 (0.6943 × 10 −4 ) 2 1 ⋅ = 0.71cm −1 −3 2 11 3 × 10 8π × 1.5 2 × 10
G (ν ) = 5 × 1018 ⋅
2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度 n0＝n1+n2＝l012 cm-3，1/f(ν)＝15×109 s-1，λ＝0.6328µm，
即证 11．静止氖原子的 3S2→2P4 谱线的中心波长为 0.6328µm，设氖原子分别以±0.1c,±0.5c 的 速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？
答：ν + 0.1c = ν 0
1+υ c = 1−υ c
1.1 c ⋅ = 0.9 λ
14
1.1 3 × 10 8 ⋅ = 5.241 × 1014 Hz 0.9 0.6328 × 10 −6
2
∫
∞
0
∞ A A dν = 1 ⇒ 2∫ dν = 1 ⇒ 2 2 2 ν 0 4π 4π (ν − ν 0 ) + (1 / 2τ ) (ν − ν 0 ) 2 + (1 / 2τ ) 2 2
A 2π 2
∫
∞
0
1 dν ′ = 1 ⇒ ν ′ + (1 4πτ ) 2
2
A 1 ⋅ 4πτ ⋅ arctg[4πτν ' ] ∞ 0 =1⇒ A = 2 τ 2π
n2 =
q 1 = = 5.0277 × 10 23 −34 9 hν 6.63 × 10 × 3 × 10
2．热平衡时，原子能级 E2 的数密度为 n2，下能级 E1 的数密度为 n1，设 g1 = g 2 ，求：(1) 当原子跃迁时相应频率为ν ＝3000MHz，T＝300K 时 n2/n1 为若干。(2)若原子跃迁时发光波 长 λ ＝1µ，n2/n1＝0.1 时，则温度 T 为多高？
5．在红宝石 Q 调制激光器中，有可能将全部 Cr3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。 设红宝石直径 0.8cm，长 8cm，铬离子浓度为 2×1018cm－3，巨脉冲宽度为 10ns。求：(1)输 出 0.6943µm 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命 τ ＝10－2s，问自发辐射 功率为多少瓦？ 答： （1）最大能量
2
解上面的方程可得： x ≈ 2.82 即：
hν m ≈ 2.82 ⇒ ν m T −1 = 2.82kh −1 kT
（2）辐射能量密度为极大值的波长 λm 与ν m 的关系仍为
νm = c
λm
1 τ
8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数 A = 证明： f N (ν ) =
A ，由归一化条件且ν 0 是极大的正数可得： 4π (ν − ν 0 ) 2 + (1 / 2τ ) 2
( E −E ） − − m n n2 nm / g m 6.63 × 10 −34 × 3 × 10 9 kT kT 答： （1） 则有： =e =e = exp[− ] ≈1 nn / g n n1 1.38 × 10 − 23 × 300
hν
（2）
− n2 6.63 × 10 −34 × 3 × 10 8 = e kT = exp[− ] = 0.1 ⇒ T = 6.26 × 10 3 K − 23 −6 n1 1.38 × 10 × 1 × 10 × T
A21 8πµ 3 hν 3 8πhν 3 A21c 3 = = ⇒ B = 21 B21 8πhν 3 c3 c3 G (ν ) = ∆nB21 A λ2 µ 14 1017 × (0.6328 × 10 −6 ) 2 1 hνf (ν ) = ∆n 21 f (ν ) = × 1011 × = 0.72cm −1 c 8π 3 8π 1.5 × 10 9
答： （1）
q激 为若干？ q自
1
q激 1 (0.6 × 10 −6 ) 3 c3 λ3 ＝ ρ = ρ ⇒ = ρν ⇒ ρν = 3.857 × 10 −17 J ⋅ s / m 3 ν ν q自 8πhν 3 8πh 2000 8π × 6.63 × 10 −34 q激 (0.6328 × 10 −6 ) 3 c3 λ3 ＝ ρν = ρν = × 5 × 10 −4 = 7.6 × 10 9 （2） 3 − 34 8πh q自 8πhν 8π × 6.63 × 10
= 2.82kh −1 给出，并
8π hν 3 c3
1
e
hv kT
可得：
−1
hν
∂ρν 8πh 3ν 2 h = 3 ( hν + ν 3 ⋅ − 1 hν ⋅ e kT ⋅ ) = 0 kT ∂ν c (e kT − 1) 2 e kT − 1 hν x x 令x = ，则上式可简化为： 3(e − 1) = xe kT
3. (a)要制作一个腔长 L＝60cm 的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定 腔的一块反射镜的曲率半径 R1＝4L，求另一面镜的曲率半径取值范围。 答： （a） R1 = R2 = R ； 0 ≤ (1 − （b） 0 ≤ (1 −
L L )(1 − ) ≤ 1 ⇒ R ≥ 30cm R R
τ ⎛ 1⎞ N自 = ∫ n20 e − A21t dt = n20τ ⎜1 − ⎟ 0 ⎝ e⎠ （2） ⎛ 1⎞ P ⎟ = 145瓦 自 = N自hν τ = 2.3 × ⎜1 − ⎝ e⎠
6．试证单色能量密度公式，用波长 λ 来表示应为 ρλ = 证明：
8π hc λ5
1
e
hc λ kT
−1
ρλ =
1 1 dw dw c c 8πh c 8πhc = ⋅ 2 = ρν ⋅ 2 = 3 × hν kT ⋅ 2 = 5 × hν dVdλ dVdν λ λ λ e −1 λ λ e kT − 1
−1
7. 试证明，黑体辐射能量密度 ρ (ν ) 为极大值的频率ν m 由关系ν mT 求出辐射能量密度为极大值的波长 λm 与ν m 的关系。 答： （1）由 ρν =
− n2 ⋅ g1 n2 1.64 × 10 −18 kT 答： （1） =e ⇒ = 4 × exp[− ] = 3.11 × 10 −19 − 23 n1 ⋅ g 2 n1 1.38 × 10 × 2700
hν
且 n1 + n2 = 10 可求出 1.64 × 10
思考练习题 1
1． 试计算连续功率均为 1W 的两光源，分别发射 λ ＝0.5000µm，ν =3000MHz 的光，每秒 从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？ 答：粒子数分别为： n1 =
q = hν
1 6.63 × 10 −34 ×
c λ
=
0.5 × 10 −6 = 2.5138 × 1018 6.63 × 10 −34 × 3 × 10 8
1 ， A21 为自发辐射系数。 A21
9．试证明：自发辐射的平均寿命 τ =
证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：
n2 (t )＝n20 e − A21t
自发辐射的平均寿命可定义为
τ=
1 n20
∫
∞
0
n2 (t )dt
式中 n 2 (t )dt 为 t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt 产生的总时间，因此上述广 义积分为所有原子在激发态能级停留总时间， 再按照激发态能级上原子总数平均， 就得到自 发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出
L L 3 L )(1 − ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ⋅ (1 − ) ≤ 1 ⇒ R2 ≥ L或R2 ≤ −3L R1 R2 4 R2
4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为 R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长 L 的取值 范围。 答：
0 ≤ (1 −
L L L L )(1 − ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ (1 − )(1 − ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ L ≤ 40cm或100 ≤ L ≤ 140cm R1 R2 40 100
τ = ∫ e − A21t dt =
0
∞
1 A21
3
10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为 υ << c ，证明接收器接收到的频率
ν=
1+υ / c υ ν 0 ，在一级近似下为：ν ≈ ν 0 (1 + ) 1 −υ / c c
1
1+υ c 1 υ2 υ υ 2 −2 υ υ ⋅ υ 0 = (1 + )(1 − 2 ) ⋅ υ 0 ≈ (1 + )(1 + ⋅ 2 ) ⋅ υ 0 ≈ (1 + ) ⋅ υ 0 证明：ν = 1−υ c c c 2 c c c
υ 560 ν = ν 0 (1 + ) = ν 0 (1 + ) = (1 + 1.8667 × 10 −6 )ν 0 ⇒ 答： c 3 × 10 8 ∆ν = 1.8667 × 10 −6 × 4.74 × 1014 = 8.848 × 10 8 Hz
13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为 0.01mm-1、光通过 10cm 长的该材料后，出射光强 为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为 1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是 入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。 答； （1） I ( z ) = I (0)e