答：（1） n2 g1 n1 g2
h
e kT

n2 n1
4 exp[ 1.64 1018 ] 3.111019 1.38 1023 2700
且 n1 n2 10 20
可求出 n2 31
（2）功率＝108 311.64 1018 5.084 109W
答：
G(
)

nB21
c
A21 83h 3
hf
(
)

G(
)


n
A21
c3 8 3 h
3

c
hf
( )

n
A21
2 8 2

f
( )
B21
c3

G( ) 5 1018
1
(0.6943 104 )2
1
0.71cm1
答：（a） R1

R2

R；0

(1
L )(1 R
L) R
1
R

30cm
（b） 0

(1
L )(1 R1
L R2
)
1
0

3 4
(1
L R2
)
1
R2

L或R2

3L
4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为 R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长 L 的取值 范围。 答：
2.30 108瓦
N自
（2）
0
n e A21t 20
dt

n20
1
1 e

P自 N自h

2.3 1 1 145瓦 e
6．试证单色能量密度公式，用波长
来表示应为


8 hc 5
1
hc
ekT 1
证明：


dw dVd
f ( )
f 0
G
0
(
0
)

2
1 ( 0 )2 (
2 ( )
2) 2
G 0 ( 0 )
f
(
0
)

2

依据上面两式可得： G( )

(
(
2
)
2
G
0
(
0
)

0
)2

(1
I Is
)( 2
)2
；即证。
7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为 ，求证，I＝IS 时的稳定工作时讯号增
12．设氖原子静止时发出 0.6328m 红光的中心频率为 4.74×1014Hz，室温下氖原子的平均 速率设为 560m/s。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？
答：


0
(1

c
)
0 (1
560 ) 3 10 8

(11.8667 106 ) 0

1.8667 106 4.74 1014 8.848 108 Hz
证明： G( )

1
G0 I
( f
) (
)
I s f ( 0 )

[(
0 )2

( 2
)2 ]G 0 ( )
(
0 )2

(1
I Is
)( 2
)2
而：
G
0
(
)

n 0
B21
c
h
0
f ( )

G0
(
0
)

n0 B21
c
h
0
f ( 0 ) G 0 ( )
0
1
A

1
9．试证明：自发辐射的平均寿命

1 A21
，
A21
为自发辐射系数。
证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：
n2 (t)＝n20eA21t
自发辐射的平均寿命可定义为
1 n20
0
n2
t
dt
式中 n2 t dt 为 t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt 产生的总时间，因此上述广
思考练习题 1
1． 试计算连续功率均为 1W 的两光源，分别发射 ＝0.5000m， =3000MHz 的光，每秒
从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？
答：粒子数分别为： n1

q h

1 6.63 1034 c

0.5 106 6.63 1034 3108
2.5138 1018
0
，在一级近似下为：


0
(1

c
)证明： 1 源自c c0(1

c
)(1

c
2 2
)

1 2
0
(1 )(1 c
1 2

c
2 2
)

0

(1

c
)


0
即证
11．静止氖原子的 3S22P4 谱线的中心波长为 0.6328m，设氖原子分别以0.1c,0.5c 的
即： h m kT
2.82 mT 1
2.82kh1
（2）辐射能量密度为极大值的波长 m 与 m 的关系仍为
m

c m
8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数 A 1
证明：
f N ( )

4 2 (
A 0 )2
(1/ 2 )2
，由归一化条件且 0
5 104
7.6 109
5．在红宝石 Q 调制激光器中，有可能将全部 Cr3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。 设红宝石直径 0.8cm，长 8cm，铬离子浓度为 2×1018cm－3，巨脉冲宽度为 10ns。求：(1)
输出 0.6943m 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命 ＝10－2s，问自发辐
fD
(
)

G
0 D
(
0)

n0 B21
c
h
0
证明：
f D ( 0 )

2 D
(ln 2)1
2
f
D
(
0
)



GD0 ( 0 )

n0 B21
2 c D
h 0
( ln2 )1 2
即证。
6. 推导均匀增宽型介质，在光强 I，频率为的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。
答：（1） nm / gm

( Em En）
e kT 则有：
n2
h
e kT
exp[ 6.63 1034 3109 ] 1
nn / gn
n1
1.38 1023 300
（2） n2
h
e kT
exp[
6.63 1034 3108
] 0.1 T 6.26 103 K

dw dVd
c 2

c 2

8h 3

e h
1
kT
c 1 2

8hc 5

h
e
1
kT
1
7. 试证明，黑体辐射能量密度 ( ) 为极大值的频率 m 由关系mT 1 2.82kh1 给出，并
求出辐射能量密度为极大值的波长 m 与 m 的关系。
答：（1）由


8 h 3 c3
1
hv
可得：
ekT 1

8h 3 2 c3 ( h
3
e kT 1
1 h (e kT
h
e kT 1) 2
h )0 kT
令 x h ，则上式可简化为： 3(e x 1) xex kT
2
解上面的方程可得： x 2.82
是极大的正数可得：

A

d 1 2
A
d 1
0 4 2 ( 0 )2 (1/ 2 )2
0 4 2 ( 0 )2 (1/ 2 )2
A
1
d 1
2 2 0 2 (1 4)2
A 2 2
4
arctg[4']
4．(1)普通光源发射 ＝0.6000m 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比
q激 = 1 q自 2000
，求此时单色能量密度

为 若 干 ？ (2) 在
He — Ne
激光器中若

5.0104 J s / m3 ，
为 0.6328m，设 ＝1，求 q激 q自
为若干？
义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自 发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出
eA21t dt 1
0
A21
3
10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为 c ，证明接收器接收到的频率

1 1
/ /
c c
3 10 3
8 1.52 2 1011
2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度 n0＝n1+n2＝l012 cm-3，1/f()＝15×109 s-1，λ＝0.6328m，
t自发