第一章 最优化问题与数学预备知识本章主要内容：最优化的概念 经典最优化中两种类型的问题——无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法 最优化问题的模型及分类 向量函数微分学的有关知识 最优化的基本术语教学目的及要求：理解最优化的概念，掌握经典最优化中两种类型的问题——无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法，了解最优化问题的模型及分类，掌握向量函数微分学的有关知识，了解最优化的基本术语．教学重点：向量函数微分学的有关知识．教学难点：向量函数微分学的有关知识．教学方法：启发式．教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合．教学时间：2学时．教学内容：§1.1 模型与实例无约束最优化问题 12min (),(,,,)T n n f x x x x x R =∈ ．约束最优化问题（{|,()0,1,2,,;()0,1,2,,}n i j S x x R g x i m h x j l ∈≥=== ）min ();.f x x S ⎧⎨∈⎩s.t. 即 m i n ();()0,1,2,,,()0,1,2,,.i j f x g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩s.t. 其中()f x 称为目标函数，12,,,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域，()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g x i m h x j l ≥=== 称为约束条件．例1 （海洋运输问题）某航运公司承接了一项将客户停放在港口等待运输的N 种货物运往目的地的业务．设航运公司运输单位货物i 的收益为i c （元/吨），货船能够装载的货物的重量限制为W （吨），相应的容积限制为V （立方米），设i a 是单位货物i 所占的容积（立方米／吨），i b 是货物i 可提供的最大数量（吨），i w 是货物i 的日平均装船速度（吨／日），1q 为货船的日泊位费（元／日），2q 为货船在海上航行时的日费用（元／日），d 为航行距离（公里），v 为航行速度（公里／日）．问如何确定货船的装载方案，使航运公司获利最大？解 设(1,2,,)i x i N = 是货船装载货物的数量（吨），则得到该问题的线性分式规划模型1211111max ;,,0.N N i i i i i i N i i i N i i N i i i i i q x q d c x w v z x d w v x W a x V x b =====⎧--⎪⎪=⎪+⎪⎪⎪⎨≤⎪⎪⎪≤⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑s.t.§1.2 数学预备知识1．向量的范数和矩阵的条件数定义 如果n R 上的实值函数 满足以下三个条件：（1）n x R ∀∈，有0x ≥，同时，当且仅当0x =时，0x =；（2）,n x R R α∀∈∈，有x x αα=⋅；（3）,n x y R ∀∈，有x y x y +≤+． 则称x 为x的范数．通常取1/2()T x x x =． x 的p 范数：1/1(||)(1)np p i p i x x p =≥∑ ．x 的最大范数：max{||1}i x x i n ∞≤≤ ．性质 设A 和B 是定义于n R 中的两种范数，则总存在正数1c 和2c ，使n x R ∀∈，有12A B A c x x c x ≤≤．定义 设A 是n 阶方阵，12,,,n λλλ 是A 的全部特征值．1max ||i i n λ≤≤称为A 的谱半径，记作()A ρ．设m n A R ⨯∈，称T A A 的特征值的正平方根为A 的奇异值．A 的最大奇异值与最小非零奇异值之商称为A 的谱条件数，记为()A κ，即1()()()t A A A σκσ=， 其中12()()()n A A A σσσ≥≥≥ 为A 的所有奇异值，且()t R A =．性质 如果A 为n 阶正定矩阵，12()()()0n A A A λλλ≥≥≥> 和12()()()n A A A σσσ≥≥≥ 分别为A 的特征值和奇异值，则()(),1,2,,i i A A i n σλ== ，于是1()()()n A A A λκλ=． 如果A 为n 阶满秩矩阵，则A 的所有奇异值12()()()0n A A A σσσ≥≥≥> ，从而1()()()n A A A σκσ=． 定义 一个n 阶满秩矩阵A 称为病态的，如果A 的n 个列向量之间存在着近似线性关系．性质 条件数可以用来度量矩阵的病态程度．2．多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Taylor 公式定义 设:,n n f R R x R →∈．如果n ∃维向量p ，使得n x R ∀∆∈，有()()()T f x x f x p x o x +∆-=∆+∆．则称()f x 在点x 处可微，并称d ()T f x p x =∆为()f x 在点x 处的微分．如果()f x 在点x 处对于12(,,,)T n x x x x = 的各分量的偏导数(),1,2,,if x i n x ∂=∂ 都存在，则称()f x 在点x 处一阶可导，并称向量 12()()()()(,,,)T nf x f x f x f x x x x ∂∂∂∇=∂∂∂ 为()f x 在点x 处一阶导数或梯度．定理1 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处梯度()f x ∇存在，并且有d ()()T f x f x x =∇∆．定义 设:,n n f R R x R →∈．d 是给定的n 维非零向量，d e d =．如果 0()()lim ()f x e f x R λλλλ→+-∈存在，则称此极限为()f x 在点x 沿方向d 的方向导数，记作()f x d∂∂． 定理2 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处沿任何非零方向d 的方向导数存在，且()()T f x f x e d ∂=∇∂，其中d e d=． 定义 设()f x 是n R 上的连续函数，n x R ∈．d 是n 维非零向量．如果0δ∃>，使得(0,)λδ∀∈，有()f x d λ+<（>）()f x ．则称d 为()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定理3 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 处可微，如果∃非零向量n d R ∈，使得()T f x d ∇<（>）0，则d 是()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定义 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处对于自变量12(,,,)Tn x x x x = 的各分量的二阶偏导数2()(,1,2,,)i j f x i j n x x ∂=∂∂ 都存在，则称函数()f x 在点x 处二阶可导，并称矩阵22221121222222122222212()()()()()()()()()()n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∇=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭为()f x 在点x 处的二阶导数矩阵或Hesse 矩阵．定义 设:,n m n h R R x R →∈，记12()((),(),,())T m h x h x h x h x = ，如果 ()(1,2,,)i h x i m = 在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x = 的各分量的偏导数()(1,2,,;1,2,,)i jh x i m j n x ∂==∂ 都存在，则称向量函数()h x 在点x 处是一阶可导的，并且称矩阵111122221212()()()()()()()()()()n n m n m m m n h x h x h x x x x h x h x h x x x x h x h x h x h x x x x ⨯∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂∇= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭ 为()h x 在点x 处的一阶导数矩阵或Jacobi 矩阵，简记为()h x ∇．例2 设,,n n a R x R b R ∈∈∈，求()T f x a x b =+在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设1212(,,,),(,,,)T Tn n a a a a x x x x == ，则1()nk k k f x a x b ==+∑， 因()(1,2,,)k kf x a k n x ∂==∂ ，故得()f x a ∇=． 又因2()0(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂==∂∂ ，则2()f x O ∇=． 例3 设n n Q R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，称1()2T T f x x Qx b x c =++为二次函数，求()f x 在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设1212(),(,,,),(,,,)T T ij n n n n Q q x x x x b b b b ⨯=== ，则121111(,,,)2n nn n ij i j k k i j k f x x x q x x b x c ====++∑∑∑ ， 由于12(,,,)n f x x x 中所有含i x 的项为211,11,1112i i i i i i ii i i i i i in i n i i q x x q x x q x q x x q x x b x --+++++++++ ， 所以1()nij j i j i f x q x b x =∂=+∂∑，从而111111111()()()nn j j j j j j n n n nj j n nj j j j n f x q x b q x x b f x Qx b f x b q x b q x x ====⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∇===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ ． 再对1()(1,2,,)n ij j i j i f x q x b i n x =∂=+=∂∑ 求偏导得到2()(,1,2,,)ij i j f x q i j n x x ∂==∂∂ ，于是1112121222212()n n n n nn q q q q q q f x Q q q q ⎛⎫ ⎪ ⎪∇== ⎪ ⎪⎝⎭． 例4 设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求(),()t t ϕϕ'''．解 由多元复合函数微分法知11d()()()d nn T i i i i i i i x td f f t d f x td d u t u ϕ==+∂∂'===∇+∂∂∑∑ ， 221111d()()()()d nn n n j j T i i j j i i j j i i j x td f f t d d d d f x td d u u t u u ϕ====+∂∂∂''===∇+∂∂∂∂∑∑∑∑ ． 定理4 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，则()f x 在点x 处有Taylor 展式21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<． 证明 设()(),[0,1]t f x t x t ϕ=+∆∈，则(0)(),(1)()f x f x x ϕϕ==+∆．按一元函数Taylor 公式()t ϕ在0t =处展开，有21()(0)(0)(),(0)2t t t t ϕϕϕϕθθ'''=++<<．从例4得知2(0)(),()()()T T f x x x f x x x ϕϕθθ'''=∇∆=∆∇+∆∆．令1t =，有21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<． 根据定理1和定理4，我们有如下两个重要公式：()()()()()T f x f x f x x x o x x =+∇-+-，221()()()()()()()()2T T f x f x f x x x x x f x x x o x x =+∇-+-∇-+-．§1.3 最优化的基本术语定义 设:n f R R →为目标函数，n S R ⊆为可行域，x S ∈．（1） 若x S ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的全局（或整体）极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的全局（或整体）最优解，并称()f x 为其最优值．（2） 若,x S x x ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格全局（或整体）极小点．（3） 若x ∃的δ邻域(){}(0)n N x x R x x δδδ=∈-<>使得()x N x S δ∀∈ ，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的局部极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的局部最优解． （4） 若x ∃的δ邻域()(0)N x δδ>使得(),x N xS x x δ∀∈≠ ，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格局部极小点．。