例 4 设Ω ={1,2,3,4,5,6},
C
={ {1,2}，{1,3} }，则 F ={ ϕ ,{1},{2}，{3}，
{1,2},{1,3}, {2，3}，{1,2,3},{4,5,6},{1,4,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},
1
{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6},Ω }是由 C 定义 3 设 { An , n 1,2,} 为一集合序列。令
x0 x0
6
第三节 数字特征、矩母函数与特征函数 1.Riemann—Stietjes 积分 定义 1 设 g ( x) ， F ( x) 为有限区间 (a, b] 上的实值函数， a x0 x1 xn b 为
(a, b] 的 一 个 分 割 ， 令 F ( xi ) F ( xi ) F ( xi 1 ) ， i [ xi 1 , xi ] ， 1 i n ，
n
n
若对每个 n，有 An An 1 （或 An An 1 ） ，则称为单调增（单调减）序列。显然 对于单调集合序列 { An } 的极限存在， 且对于单调增集合序列 { An } ， 若 A lim An ，
n
则 A An ， 记 An A ； 对于单调减集合序列 { An } ， A lim An ， 则 A An ，
性质 1 如果是Ω 上的一个σ 代数，则 （1） ϕ∈F ； （2）若 An∈F (n=1,2,…)，则 An ∈F 。
n 1
例 1 设Ω ={1,2,3,4,5,6}, F ={ ϕ ,{1,2},{3,4,5,6},Ω }，则 F 是Ω 上的一 个σ 代数。
例 2 设Ω ={1,2,3,4,5,6}，F ={ ϕ ,{1},{2}， {3}， {1,2},{1,3},{2， 3}， {1,2,3}, {4,5,6}, {1,4,5,6}, {2,4,5,6},{3,4,5,6},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6},Ω } ，则 F 是Ω 上的一个σ 代数。
生成的最小σ 代数。
limsup An Ak ， liminf An Ak
n n 1 k n
n n 1 k n




分别称其为 { An } 的上极限和下极限（上极限有时也记作 { An , i.o.} ）显然有
limsup An { | 任意n N , 存在k n, 使 Ak } { | 属于无穷多个An }
Γ 分布
s s 1 x x e 密度函数 f ( x) ( s ) 0
指数分布
x0 x0
e x 密度函数 f ( x) 0
χ2 分布
x0 x0
n x 1 1 2 2 x e n n f ( x ) 密度函数 2 2 ( ) 2 0
a c
b
b
(3) (4)

b
a b
dF ( x) F (a ) F (b) ，其中 a, b 均可为有限数或无穷大；
g ( x)d [F1 ( x) F2 ( x)] g ( x)dF1 ( x) g ( x)dF2 ( x)
a a b a b b

a
(5)若 g ( x) 0 ， F ( x) 单调不减， b a ，则 g ( x)dF ( x) 0 。
其分布函数为
F ( x)
xk x
p P{ X x }
k xk x k
x
连续型随机变量 X 的分布用概率密度 f(x)描述，其分布函数为：
F ( x ) f (t ) dt

分布函数 F(x)的性质 （1） 0 F ( x) 1 （2） F () 0, F () 1 （3） F ( x) 是单调不减函数， a b 则 F (a) F (b) （4） F ( x) 是右连续函数，即 x, F ( x 0) F ( x) 随机向量 ( X 1 , X 2 ,, X d ) 的联合分布函数定义为

b
a
g ( x)dF ( x) lim g ( i )F ( xi )
0
i 1
n
若函数 g ( x) 连续， F ( x) 单调，则 Riemann—Stietjes 积分存在。 Riemann—Stietjes 积分的推广：


a b
g ( x)dF ( x） lim g ( x)dF ( x） lim
n n
n
例 5 设 { An , n 1,2,} 是一集合序列，其中 { An }
1 1 1 1 A2 n-1 ， 1 2 ， A2n ， 2n 1 2n 1 2n 1 2n
则 liminf An (0,1) ， limsup An (0,2) .
第一章 预备知识 第一节 概率空间
定义 1 设Ω 是一个样本空间（或任何一个集合） ，F 是Ω 的某些子集组成的集合 族。如果满足 （1） Ω ∈F ； （2） 若 A∈F，则 AC =Ω \A∈F ； （3） 若 An∈F (n=1,2,…)，则 A n ∈F ，
n 1
则称 F 为Ω 上的一个σ 代数， （Ω ，F）称为可测空间。
定义 2 以Ω 的某些子集为元素的集合称为（Ω 上的）集类。对于Ω 上的任一非 空集类 C，存在包含 C 的最小σ 代数，称为由 C 生成的最小σ 代数。
例 3 设Ω ={1,2,3,4,5,6}, Ω }是由 C 生成的σ 代数。
C
={ {1,2} }，则 F ={ ϕ ,{1,2},{3,4,5,6},
定义 2 两个随机变量 X 与 Y，如果满足 P{ω∈Ω :X(ω) ≠Y(ω) }=0,则称它们是 等价的。
注：为简单起见，习惯将{ω:X(ω) ≥x}记为{X≥x}，其他记号类似。
常用的随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量。 离散性随机变量 X 的概率分布用如下分布列描述：
pk = P{X = xk }, k = 1,2, …
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
则称 P 是（Ω ，F）上的概率， （Ω ,F ,P）称为概率空间，F 中的元素称为事 件，P(A)称为事件 A 的概率。
事件的概率的性质 （1）若 A,B∈F，则 P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B) 。 （2）若 A,B∈F，且 A B ，则 P(B-A)=P(B)-P(A) 。 （3）若 A,B∈F，且 A B ，则 P(A)≤P(B) 。 （4）若 An ∈F，n≥1，则 P( A n ) P( An ) 。
xi
x
2.常见的随机变量的分布 退化分布 分布列 P{X=C}=1 Bernoulli 分布 分布列 P{ X k} p k (1 p) nk ，k=0,1 二项分布 分布列 P{ X k} p k (1 p) nk ，k=0,1,…,n Poisson 分布 分布列 P{ X k} 几何分布 分布列 P{ X k} p(1 p) k -1 ，k=0,1,… Pascal 分布
Riemann—Stietjes 积分的性质： (1)线性性质： [g1 ( x) g 2 ( x)]dF ( x) g1 ( x)dF ( x) g 2 ( x)dF ( x)
a a a b b b
(2)区间可加性： g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x)
max{xi xi 1 } 。
1i n
当 0 时，极限
lim g ( i )F ( xi )
0
i 1 n
存在，且与分割的选择以及 i [ xi 1 , xi ] 的取法无关，则称该极限为函数 g ( x) 关 于 F ( x) 在区间 (a, b] 上的 Riemann—Stietjes 积分，记为

b
a
g ( x)dF ( x）
7
注： （1）当存在 f ( x) ，使任意 x ，有 F ( x)
x

f (t )dt ，则

b
a
g ( x)dF ( x） g ( x) f ( x)dx ；
a
b
（2）当 F ( x) 是一个阶梯函数， F ( x) 在 x xi 处有跃度 p i (i 1,2,) ，则
5
连续均匀分布
(b a) 1 密度函数 f ( x) 0
正态分布 密度函数 f ( x) d 维正态分布 密度函数 f ( x)
a xb 其他
1 2
exp{( x ) 2 / 2 2 }
1 (2 )
d 2
||

1 2
exp{( x ) ( x )}
n 1 n 1
（5） An ∈F，且，则 An A ，则 P( A) lim P( An ) 。
n
（6） An ∈F，且，则 An A ，则 P( A) lim P( An ) 。
n
3
第二节 随机变量与分布函数
1.随机变量与分布函数的概念与性质 定义 1 设（Ω , F ,P）是概率空间，X 是定义在Ω 上取值于实数 R 的函数，如 果任意 x∈R，{ω:X(ω) ≤x}∈F，则称 X 是 F 上的随机变量，简称随机变量。 函数 F(X)=P{ω:X(ω) ≤x},-∞<x<∞称为随机变量 X 的分布函数。
4
F ( x1 , x2 , xd ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X d xd }