∑my(F)=0
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
图4.1
本章内容
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.2 力对轴之矩 4.3 空间力系的平衡方程 4.4 重心
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影 4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为α、β、γ，
则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ （4-1） Fz=±Fcosγ
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
（4-2）
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd （4-5）
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、 z轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ
图4.3图4.4来自4.2 力对轴之矩图4.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如 果力F作用在垂直于z轴的平面内（图4.5(b)），则门 就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴 与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴 之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩 用mz(F)表示，则
mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1N· m
图4.5
图4.6
图4.7
图4.8
4.3 空间力系的平衡方程 4.3.1 空间一般力系的平衡方程
mz(P)=0
【例4.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力P=2000N， 方向如图4.8所示。图中C点在xOy平面内，试求力P对三 个坐标轴之矩。 【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。将Pxy沿x、y轴 方向分解为Px和Py两个力，然后即可方便地求出P对z轴之 矩。 根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为
如图4.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于 各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的 投影都等于零。于是式（4.6）中的
∑Fx=0,∑Fy=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间平行力系 的平衡方程为 ∑Fz=0
∑mx(F)=0 （4-7）
4 空间力系
本章提要
本章主要研究力在空间直角坐标轴上的投 影、力对轴之矩、各种空间力系的平衡方程及 应用、重心的概念及计算。
空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内 的力系。
在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点， 则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力 系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全 平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该 轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取 正号；反之，取负号（图4.6(a)）。也可用右手法则 来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方 向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图4.6 （b))；反之，取负号（图4.6(c)）。
空间一般力系的平衡方程列举如下： ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0 ∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0 （4-6）
上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件 是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分 别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分 别等于零。
4.3.2 空间平行力系的平衡方程
【例4.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力 P=100N(图4.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求 此力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（4.5)可得力P对x轴之矩为
mx(P)=-P(AB+CD)= -35N· m 力P对y轴之矩为 my(P)=-P×BC=-40N· m 力P对z轴之矩为
(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0） 时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。
(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力 矩定理。如以R表示一空间力系F1、F2、…、Fn的合 力，则合力矩定理可以表示为 mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+…+mz(Fn)=∑mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分 力对该轴之矩的代数和。
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(4.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
P3z=-P3cosγ=-2.89kN