浙江省台州市路桥区中考数学一模试卷一、选择题：本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．1．下列计算正确的是（）A．30=0 B．﹣|﹣3|=﹣3 C．3﹣1=﹣3 D．2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×10103．如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（）A．B．C． D．4．如图，直线m∥n，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线n上，则∠1+∠2等于（）A．30° B．40° C．45° D．60°5．已知x2=3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（）A．P1B．P4C．P2或P3D．P1或P46．人民商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：色黄色绿色白色紫色红色数量（件）100 180 220 80 520经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差7．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．2.59．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC与△ACE通过下列变换：①绕点C旋转后重合；②沿AB的中垂线翻折后重合；③沿ED方向平移△CEA后与△BDC重合；④绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合；⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则△BDC 与△ACE重合．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，点P在直线y=x﹣1上，若存在过点P的直线交抛物线y=x2于A、B两点，且PA=AB，则称点P 为“优点”，下列结论中正确的是（）A．直线y=x﹣1上的所有点都是“优点”B．直线y=x﹣1上仅有有限个点是“优点”C．直线y=x﹣1上的所有点都不是“优点”D．直线y=x﹣1上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．11．写一个在﹣2和﹣1之间的无理数．12．已知反比例函数，当x≥3时，则y的取值范围是．13．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个．14．如图，温度计上表示了摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的刻度，如果气温是摄氏25°，则相当于华氏℉．15．如图，在△ABC中，点A1、A2是AB的三等分点，点B1、B2是BC的三等分点，点C1、C2、C3、C4是AC的五等分点，记四边形A1A2C3C4、B1B2C1C2的面积分别为S1、S2，若S1+S2=12，则五边形A2BB1C2C3的面积为．16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，动点P从点B出发沿BC方向以每秒5个单位的速度向终点C运动，过点P作PE⊥AB于点E，过点P作PF∥BA，交AC于点F，设点P运动的时间为t秒，若以PE所在直线为对称轴，线段BD经轴对称变换后的图形为B′D′，当线段B′D′与线段AC有公共点时，则t的取值范围是．三、解答题：本题共8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分．17．计算：﹣+2sin60°+（）﹣1．18．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．19．某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．捐款人数分组统计表：组别捐款额x/元人数A 1≤x＜10 aB 10≤x＜20 100C 20≤x＜30D 30≤x＜40E x≥40请结合以上信息解答下列问题．（1）a= ，本次调查样本的容量是；（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；（3）若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？20．如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=．（1）求一个矩形卡通图案的面积；（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？21．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价﹣进价）×销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）10 11 13销售量y（kg）（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？22．【倾听理解】（这是习题讲评课上师生围绕一道习题的对话片断）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．师：当BD=1时，同学们能求哪些量呢？生1：求BC、OD的长．生2：求、的长．…师：正确！老师还想追问的是：去掉“BD=1”，大家能提出怎样的问题呢？生3：求证：DE的长为定值．生4：连接AB，求△ABC面积的最大值．…师：你们设计的问题真精彩，解法也很好！【一起参与】（1）求“生2”的问题：“当BD=1时，求、的长”；（2）选择“生3”或“生4”提出的一个问题，并给出解答．23．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，CD＜AB，点E在边BC上，且CE=DC，BE=AB．（1）求证：AE⊥DE；（2）定义：如果某四边形的一条边上（除顶点外）有一个点，使得除该边两个顶点外的另外两个顶点与它的连线互相垂直，我们把满足这种条件的点叫做该四边形的“勾股点”，例如点E在边BC上，且AE⊥DE，所以点E是四边形ABCD的勾股点，请探究在边AD上有没有四边形ABCD的勾股点？并说明你的理由．（3）请判断在边CD上有没有四边形ABCD的勾股点？并说明你的理由．24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=16cm，动点E、F同时从点A出发，点E沿A→D的方向运动，速度为每秒1cm；点F沿A→B→C的方向运动，速度为每秒2cm，当点E、F有一点到达终点时（即点E到达点D，点F到达点C），运动结束，以线段EF为边向右侧作正方形EFGH，设运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，点G落在BC边上？（2）若正方形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积为S（cm2），当0＜t≤8时，求S关于t的函数关系式．（3）在点E、F运动的过程中，是否存在某一时刻t，使点D落在正方形EFGH的GH边上？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．浙江省台州市路桥区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．1．下列计算正确的是（）A．30=0 B．﹣|﹣3|=﹣3 C．3﹣1=﹣3 D．【考点】负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂．【专题】计算题．【分析】根据平方根，负指数幂的意义，绝对值的意义，分别计算出各个式子的值即可判断．【解答】解：A、30=1，故A错误；B、﹣|﹣3|=﹣3，故B正确；C、3﹣1=，故C错误；D、=3，故D错误．故选B．【点评】解决此题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．【解答】解：350 000 000=3.5×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（）A．B．C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到三个左右相邻的长方形，故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．如图，直线m∥n，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线n上，则∠1+∠2等于（）A．30° B．40° C．45° D．60°【考点】平行线的性质．【分析】首先过点A作l∥m，由直线l∥m，可得n∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案：∠1+∠2=∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，过点A作l∥m，则∠1=∠3．又∵m∥n，∴l∥n，∴∠4=∠2，∴∠1+2=∠3+∠4=45°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握“两直线平行，内错角相等”性质定理的应用．5．已知x2=3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（）A．P1B．P4C．P2或P3D．P1或P4【考点】实数与数轴．【分析】本题需先解出x等于多少，然后再根据在数轴上的表示方法即可求出答案．【解答】解：根据实数在数轴上表示的法方可得∵x2=3，∴x=±，根据实数在数轴上表示的法方可得∴P1或P4．故选D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，在解出得数的同时要会在数轴上表示出来．6．人民商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：色黄色绿色白色紫色红色数量（件）100 180 220 80 520经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差【考点】统计量的选择．【专题】压轴题；图表型．【分析】在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．故选C．【点评】反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．7．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°【考点】菱形的性质；剪纸问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】如图：折痕为AC与BD，∠ABC=60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，∵∠BAC=60°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．故选：D．【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，有助于提高学生的动手及立体思维能力．8．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5【考点】二次函数的最值．【专题】压轴题．【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可．【解答】解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，∴0≤k，∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键．9．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC与△ACE通过下列变换：①绕点C旋转后重合；②沿AB的中垂线翻折后重合；③沿ED方向平移△CEA后与△BDC重合；④绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合；⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则△BDC 与△ACE重合．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】几何变换综合题．【分析】根据全等三角形的判定定理AAS得到△BDC≌△CEA，则BD=CE，CD=AE．结合平移与旋转的性质进行判断．【解答】解：∵BD⊥DE，AE⊥DE，∴∠BDC=∠CEA=90，又∠ACB=90°，∴∠BCD=∠CAE（同角的余角相等），∴在△BDC与△CEA中，，∴△BDC≌△CEA（AAS）．∴BD=CE，CD=AE．①绕点C旋转后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故错误；②△BDC与△ACE不关于AB的中垂线对称，则沿AB的中垂线翻折后不重合，故错误；③沿ED方向平移△CEA后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故错误；④因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故正确；⑤先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则△BDC 与△ACE重合，故正确；综上所述，正确的结论有2个．故选：B．【点评】本题考查了几何变换综合题．需要掌握全等三角形的判定与性质，旋转与平移的性质．无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的．10．如图，点P在直线y=x﹣1上，若存在过点P的直线交抛物线y=x2于A、B两点，且PA=AB，则称点P 为“优点”，下列结论中正确的是（）A．直线y=x﹣1上的所有点都是“优点”B．直线y=x﹣1上仅有有限个点是“优点”C．直线y=x﹣1上的所有点都不是“优点”D．直线y=x﹣1上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设A（m，n），P（x，x﹣1），根据PA=AB可找出点B的坐标，再根据A、B在抛物线y=x2上结合二次函数图象上点的坐标即可得出m、n之间的关系，消去n后可得出关于x的方程，利用根的判别式即可得出直线y=x﹣1上的所有点都是“优点”．【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1），则B（2m﹣x，2n﹣x+1），∵A，B在y=x2上，∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2，消去n，整理得关于x的方程：x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0①，∵△=（4m﹣1）2﹣4（2m2﹣1）=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∵P点的随意性，∴直线y=x﹣1上的所有点都是“优点”．故选A．【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征：利用抛物线上的点满足抛物线解析式，可判断点是否在抛物线上或确定点的坐标．二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．11．写一个在﹣2和﹣1之间的无理数﹣，﹣等．【考点】实数大小比较．【专题】开放型．【分析】先画出数轴，然后根据在﹣2和﹣1之间的无理数即可解答．【解答】解：在﹣2和﹣1之间的无理数是﹣，﹣．．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．12．已知反比例函数，当x≥3时，则y的取值范围是0＜y≤2；．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=3时y的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=6＞0，∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵当x=3时，y=2，∴当x≥3时，0＜y≤2．故答案为：0＜y≤2；【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．13．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有 3 个．【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC=2∠ABD=72°，又可求∠ABC=∠C=72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣2×72°=36°，故∠A=∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC=∠ABD=36°，得∠C=72°，可求∠BDC=72°，故∠BDC=∠C，所以△BDC是等腰三角形．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∴△ABC是等腰三角形…①．∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣2×72°=36°，∴∠A=∠ABD，∴△ABD是等腰三角形…②．∵∠DBC=∠ABD=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BDC是等腰三角形…③．故图中的等腰三角形有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．14．如图，温度计上表示了摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的刻度，如果气温是摄氏25°，则相当于华氏77 ℉．【考点】一次函数的应用．【分析】根据摄氏度和华氏度的对应关系利用待定系数法求出摄氏度和华氏度的关系式，然后把摄氏度代入求解即可．【解答】解：设摄氏度为x，华氏度为y，y=kx+b，由图可知，，解得，所以，y=x+32，当x=25℃时，y=×25+32=77℉．故答案为：77．【点评】本题考查了一次函数的应用，根据温度计上的对应关系，利用待定系数法求出华氏度与摄氏度的一次函数解析式是解题的关键．15．如图，在△ABC中，点A1、A2是AB的三等分点，点B1、B2是BC的三等分点，点C1、C2、C3、C4是AC的五等分点，记四边形A1A2C3C4、B1B2C1C2的面积分别为S1、S2，若S1+S2=12，则五边形A2BB1C2C3的面积为14 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】如图．连结BC2，BC3．设a，b，c，d，e分别为其所在三角形的面积．由A1C4∥A2C3，AA1=A1A2，AC4=C4C3，推出△AA1C4∽△AA2C3，推出=，推出a=S1，同理可证b=S2，由S1+S2=12，推出a+b=4，由AA2=2BA2，推出d=（a+S1），同理e=（b+S2），推出d+e=（a+S1+S2+b）=8，由此AC3=22C3，推出c=（d+a+S1）=（e+S2+b），推出2c=（d+e+a+b+S1+S2）=12，即c=6，根据五边形A2BB1C2C3的面积=d+c+e即可解决问题．【解答】解：如图．连结BC2，BC3．设a，b，c，d，e分别为其所在三角形的面积．∵A1C4∥A2C3，AA1=A1A2，AC4=C4C3，∴△AA1C4∽△AA2C3，∴=，∴=，∴a=S1，同理可证b=S2，∵S1+S2=12，∴a+b=4，∵AA2=2BA2，∴d=（a+S1），同理e=（b+S2），∴d+e=（a+S1+S2+b）=8，∵AC3=22C3，∴c=（d+a+S1）=（e+S2+b），∴2c=（d+e+a+b+S1+S2）=12，∴c=6，∴五边形A2BB1C2C3的面积=c+d+e=14，故答案为14．【点评】本题考查相似三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用整体的思想思考问题，掌握异底同高的三角形的面积比等于底的比，属于中考填空题中的压轴题．16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，动点P从点B出发沿BC方向以每秒5个单位的速度向终点C运动，过点P作PE⊥AB于点E，过点P作PF∥BA，交AC于点F，设点P运动的时间为t秒，若以PE所在直线为对称轴，线段BD经轴对称变换后的图形为B′D′，当线段B′D′与线段AC有公共点时，则t的取值范围是≤t≤．【考点】几何变换综合题．【分析】如图1中，当点B′与点A重合时．求出t的值．如图2中，当点D′在线段AC上时，求出t的值，由此即可求出t的取值范围．【解答】解：如图1中，当点B′与点A重合时．∵AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6，∴BD=DC=3，在Rt△ABD中，cos∠B===，∵BE=AE=，∴=，∴PB=，∴此时t=÷5=，如图2中，当点D′在线段AC上时．∵DD′⊥PE，AB⊥PE，∴DD′∥AB，∵BD=CD，∴AD′=CD′，∴DD′=AB=，∴DH=DD′=，∴∠HDP=∠B，∴cos∠HDP==，∴DP=，∴BP=BD+DP=，∴此时t=÷5=，∴当线段B′D′与线段AC有公共点时，则t的取值范围是≤t≤，故答案为≤t≤．【点评】本题考查几何变换、等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题：本题共8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分．17．计算：﹣+2sin60°+（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】分别根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣2+2×+3=3．【点评】本题考查的是实数的混合运算，熟知绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．18．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．【解答】解：∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=2DE．∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC=2DE且DE∥BC．∴EF=BC．又EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．【点评】此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．19．某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．捐款人数分组统计表：组别捐款额x/元人数A 1≤x＜10 aB 10≤x＜20 100C 20≤x＜30D 30≤x＜40E x≥40请结合以上信息解答下列问题．（1）a= 20 ，本次调查样本的容量是500 ；（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；（3）若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；扇形统计图；概率公式．【专题】图表型．【分析】（1）根据A、B两组捐款的人数的比列式求解即可得到a的值，求出A、B两组捐款人数所占的百分比的和与A、B两组捐款的人数的和，列式计算即可求出样本容量；（2）用样本容量乘以C组人数所占的百分比，计算即可得解，然后再补全统计图；（3）先求出D、E两组的人数的和，再根据概率公式列式计算即可，或直接求出D、E两组捐款人数所占的百分比的和即可．【解答】解：（1）∵A、B两组捐款人数的比为1：5，B组捐款人数为100人，∴A组捐款人数为：100÷5=20，A、B两组捐款人数所占的百分比的和为：1﹣40%﹣28%﹣8%=1﹣76%=24%，A、B两组捐款的人数的和为：20+100=120，120÷24%=500，故答案为：20，500；…（2分）（2）500×40%=200，C组的人数为200，…补图见图．…（3）∵D、E两组的人数和为：500×（28%+8%）=180，…（7分）∴捐款数不少于30元的概率是： =0.36．[或：28%+8%=36%=0.36．]…（9分）【点评】本题考查读频数分布直方图与扇形统计图以及频数分布表，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，根据分布表中B组的人数与利用扇形统计图求出B组人数所占的百分比是解题的关键，也是解决本题的突破口．20．如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=．（1）求一个矩形卡通图案的面积；（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）如图，在Rt△BCE中，由sinα=可以求出BC，在矩形ABCD中由∠BCD=90°得到∠BCE+∠FCD=90°，又在Rt△BCE中，利用已知求出条件∠FCD=∠CBE，然后在Rt△FCD中，由cos∠FCD=求出CD，因此求出了矩形图案的长和宽；求得面积；（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=∠CBE．由cos∠DAH=，求出AH，在Rt△CGH中，由tan∠GCH=求出GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即最多能印几个完整的图案．【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，∵sinα=，∴BC===1∵矩形ABCD中，∴∠BCD=90°，∴∠BCE+∠FCD=90°，又∵在Rt△BCE中，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠FCD=∠CBE．在Rt△FCD中，∵cos∠FCD=，∴CD==1.5∴卡通图案的面积为1.5cm2．（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=∠CBE．∵cos∠DAH=，∴AH==1.25在Rt△CGH中，∠GCH=∠CBE．∵tan∠GCH=，∴GH=0.45又∵10×1.25+0.45＞12，9×1.25+0.45＜12，∴最多能印9个完整的图案．【点评】此题主要考查矩形的性质、解直角三角形等知识，难度较大，是一个综合性很强的题目，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．21．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价﹣进价）×销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）10 11 13销售量y（kg）300 250 150（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意得到每涨一元就少50千克，则以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克；（2）先判断y是x的一次函数．利用待定系数法求解析式，设y=kx+b，把x=10，y=300；x=11，y=250代入即可得到y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）根据每天获取的利润=每千克的利润×每天的销售量得到W=（x﹣8）y=（x﹣8）（﹣50x+800），然后配成顶点式得y=﹣50（x﹣12）2+800，最后根据二次函数的最值问题进行回答即可．【解答】解：（1）∵以11元/千克的价格销售，可售出250千克，∴每涨一元就少50千克，∴以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克．故答案为300，250，150；（2）y是x的一次函数．设y=kx+b，∵x=10，y=300；x=11，y=250，∴，解得，∴y=﹣50x+800，经检验：x=13，y=150也适合上述关系式，∴y=﹣50x+800．（3）W=（x﹣8）y=（x﹣8）（﹣50x+800）=﹣50x2+1200x﹣6400=﹣50（x﹣12）2+800，∵a=﹣50＜0，∴当x=12时，W的最大值为800，即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．【点评】本题考查了二次函数的应用：先得到二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k，当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＜0，x=h时，y有最小值k．也考查了利用待定系数法求函数的解析式．22．【倾听理解】（这是习题讲评课上师生围绕一道习题的对话片断）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．师：当BD=1时，同学们能求哪些量呢？生1：求BC、OD的长．生2：求、的长．…师：正确！老师还想追问的是：去掉“BD=1”，大家能提出怎样的问题呢？生3：求证：DE的长为定值．生4：连接AB，求△ABC面积的最大值．…师：你们设计的问题真精彩，解法也很好！【一起参与】（1）求“生2”的问题：“当BD=1时，求、的长”；（2）选择“生3”或“生4”提出的一个问题，并给出解答．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连OC，当BD=1时，根据OD⊥BC可知BC=2BD=2，故△OBC是等边三角形，再根据弧长公式即可得出结论；（2）生3的问题：连结AB，在Rt△AOB中，直接根据直角三角形的性质可得出DE的长；生4的问题：当点C弧AB的中点时，△ABC面积的最大值，再根据三角形的面积公式得出结论即可．【解答】解：（1）连OC，当BD=1时，∵OD⊥BC∴BC=2BD=2，∴△OBC是等边三角形．∴∠BOC=60°，∴∠AOC=30°，∴=•4π=π．。