中考数学一模试卷一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计 30 分）1．下列各数中，比﹣ 2 小的是（）A．﹣ 1 B． 0 C．﹣ 3 D．π2．下列计算正确的是（）A． 4x 3?2x2=8x6B． a4+a3=a7C．（﹣ x2）5=﹣ x10D．（ a﹣b ）2=a2﹣ b23．如图，在△ ABC 中， AB=AC，过 A 点作 AD∥ BC，若∠ BAD=110°，则∠ BAC的大小为（）A． 30° B． 40° C． 50° D． 70°4．不等式组的解集是（）A．﹣ 1 ＜x＜ 2B． 1＜ x≤2 C．﹣ 1＜ x≤2D．﹣ 1＜ x≤35．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（）A．B．C．D．6．当 x=1 时， ax+b+1 的值为﹣ 2，则（ a+b﹣ 1）（ 1﹣ a﹣b）的值为（）A．﹣ 16 B．﹣ 8 C． 8D． 167．一次函数y=﹣ x+a﹣3（a 为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B 两点，当 A、B 两点关于原点对称时 a 的值是（）A． 0B．﹣ 3 C． 3D． 48．如图，在五边形 ABCDE 中， ∠ A+∠ B+∠ E=300°，DP 、 CP 分别平分 ∠ EDC 、∠ BCD ，则 ∠ P 的度数是（）A ． 60°B ． 65°C ． 55°D ． 50°9．如图，若锐角 △ ABC 内接于 ⊙ O ，点 D 在 ⊙ O 外（与点 C 在 AB 同侧），则下列三个结论： ① sin ∠ C＞ sin ∠D ； ②cos ∠ C ＞ cos ∠ D ； ③tan ∠ C ＞ tan ∠ D 中，正确的结论为（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ①②③D ． ①③10．对于二次函数 y=﹣ x 2+2x ．有下列四个结论： ① 它的对称轴是直线x=1；② 设 y 1=﹣ x 1 2+2x 1，y 2=﹣ x 22+2x 2，则当 x 2＞ x 1 时，有 y 2＞ y 1； ③ 它的图象与x 轴的两个交点是（ 0，0）和（ 2，0）； ④ 当0＜ x ＜ 2 时， y ＞ 0．其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题（共4 小题，每小题 3 分，计 12 分）11．若使二次根式有意义，则 x 的取值范围是．12．请从以下两个小题中个任意选一作答，若对选，则按第一题计分． A ．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底 O 点 20m 的点 A 处，测得楼顶B 点的仰角∠ OAB=60 ，°则这幢大楼的高度为（用科学计算器计算，结果精确到米）．B ．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为 ．13．已知 k ＞ 0，且关于 x 的方程 3kx 2+12x+k+1=0 有两个相等的实数根， 那么 k 的值等于．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y= （ x ＞0）的图象经过该菱形对角线的交点 A ，且与边 BC 交于点 F ．若点 D 的坐标为（ 6， 8），则点 A 的坐标是．三、解答题（共11 小题，计 78 分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）15．计算：（ 2015﹣ π） 0+（﹣ ）﹣1+| ﹣ 1| ﹣ 3tan30 +6° ．16．先化简，再求值：（ 1﹣ ） ÷ ，其中 a=3．17．如图，在 △ABC 中， AB=4cm ， AC=6cm ．（ 1）作图：作 BC 边的垂直平分线分别交与 AC ， BC 于点 D ， E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（ 2）在（ 1）的条件下，连结BD ，求 △ABD 的周长．18． 2010 年 5 月 1 日，第 41 届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学 生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（ A ：不了解， B ：一般了解， C ：了解较多， D ：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该班共有多少名学生；（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少19．如图， ?ABCD的对角线AC、 BD 相交于点O，AE=CF．（1）求证：△ BOE≌ △ DOF；（2）若 BD=EF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD的形状，无需说明理由．20．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80 米，到达点 D 处（ C、 D、 B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端 A 的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据：≈，≈）21．为绿化校园，某校计划购进A、B 两种树苗，共21 课．已知 A 种树苗每棵90 元， B 种树苗每棵70 元．设购买 B 种树苗 x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（ 1） y 与 x 的函数关系式为：；（ 2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．22．小明参加某网店的 “翻牌抽奖 ”活动，如图， 4 张牌分别对应价值 5， 10， 15，20（单位：元）的4 件奖品．（ 1）如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为（ 2）如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30 元的概率为多少23．如图， AB 是 ⊙O 的弦， OP ⊥ OA 交 AB 于点 P ，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C ，且 CP=CB ． （ 1）求证： BC 是⊙ O 的切线；（ 2）若 ⊙ O 的半径为， OP=1，求 BC 的长．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ．抛物线 y=ax 2+bx+c的对称轴是 x=﹣ 且经过 A 、 C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（ 1） ① 直接写出点 B 的坐标； ② 求抛物线解析式．（ 2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA ，PC ．求 △PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．（ 3）抛物线上是否存在点M ，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N ，使得以点 A 、 M 、N 为顶点的三角形与 △ABC 相似若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（ 1）问题发现如图 1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点A， D， E 在同一直线上，连接BE．填空：① ∠AEB 的度数为；②线段AD， BE之间的数量关系为．（ 2）拓展探究如图 2，△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中 DE 边上的高，连接BE，请判断∠ AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（ 3）解决问题如图 3，在正方形ABCD中， CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点 A 到 BP 的距离．2016 年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计 30 分）1．下列各数中，比﹣2 小的是（）A ．﹣ 1B ． 0C ．﹣ 3D ． π【考点】 实数大小比较．【专题】 应用题．【分析】 根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．【解答】 解：比﹣ 2 小的数是应该是负数，且绝对值大于2 的数，分析选项可得，只有C 符合．故选 C ．【点评】 本题考查实数大小的比较，是基础性的题目，比较简单．2．下列计算正确的是（ ）A ． 4x 3?2x 2=8x 6B ． a 4+a 3=a 7C ．（﹣ x 2） 5=﹣ x 10D ．（ a ﹣b ） 2=a 2﹣ b2【考点】 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【专题】 计算题．【分析】 A 、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；B 、原式不能合并，错误；C 、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D 、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】 解： A 、原式 =8x 5，错误；B 、原式不能合并，错误；C 、原式 =﹣ x 10，正确；D 、原式 =a 2﹣ 2ab+b 2，错误，故选 C【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3．如图，在△ ABC 中， AB=AC，过 A 点作 AD∥ BC，若∠ BAD=110°，则∠ BAC的大小为（）A． 30° B． 40° C． 50° D． 70°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠ C，根据等腰三角形的性质得出∠ B=∠ C=70°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，∵AD∥ BC，∠1=70 ，°∴∠C=∠1=70 ，°∴ ∠B=70 ，°∴ ∠BAC=180 ﹣°∠ B﹣∠ C=180 ﹣°70 °﹣70 °=40 ，°故选 B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠ C 的度数和得出∠ B=∠ C，注意：三角形内角和等于180°，两直线平行，内错角相等．4．不等式组的解集是（）A．﹣ 1 ＜x＜ 2B． 1＜ x≤2 C．﹣ 1＜ x≤2D．﹣ 1＜ x≤3【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，∵由① 得， x ≤2；由②得， x＞﹣ 1，∴此不等式组的解集为：﹣1＜ x ≤2．故选 C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（）A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及长方体的展开图解题．【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A、可以拼成一个长方体；B、 C、 D、不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图．故选 A．【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及长方体展开图的各种情形．6．当 x=1 时， ax+b+1 的值为﹣ 2，则（ a+b﹣ 1）（ 1﹣ a﹣b）的值为（）A．﹣ 16 B．﹣ 8 C． 8D． 16【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】由 x=1 时，代数式ax+b+1 的值是﹣ 2，求出 a+b 的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解．【解答】解：∵当 x=1 时， ax+b+1 的值为﹣ 2，∴a+b+1=﹣ 2，∴a+b=﹣ 3，∴（a+b﹣ 1）（ 1﹣ a﹣b）=（﹣ 3﹣1）×（ 1+3） =﹣16．故选： A．【点评】此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键．7．一次函数 y=﹣ x+a﹣3（a 为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于 A、B 两点，当 A、B 两点关于原点对称时 a 的值是（）A． 0B．﹣ 3 C． 3 D． 4【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标．【专题】计算题；压轴题．【分析】设 A（ t，﹣），根据关于原点对称的点的坐标特征得B（﹣ t，），然后把 A（t ，﹣），B（﹣ t，）分别代入 y=﹣ x+a﹣ 3 得﹣ =﹣ t+a ﹣3，=t+a﹣3 ，两式相加消去t 得 2a﹣ 6=0，再解关于 a 的一次方程即可．【解答】解：设 A（ t ，﹣），∵A、B 两点关于原点对称，∴ B（﹣ t ，），把 A（ t ，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣ x+a﹣ 3 得﹣=﹣ t+a﹣ 3，=t+a﹣ 3，两式相加得2a﹣ 6=0，∴a=3．故选 C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．8．如图，在五边形ABCDE中，∠ A+∠ B+∠ E=300°，DP、 CP分别平分∠ EDC、∠ BCD，则∠ P 的度数是（）A． 60° B． 65° C． 55° D． 50°【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠ A+∠B+∠ E=300°，可求∠BCD+∠ CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠ PCD的角度和，进一步求得∠ P的度数．【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠ A+∠B+∠ E=300°，∴ ∠BCD+∠ CDE=540 ﹣°300 °=240 ，°∵ ∠BCD、∠ CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴ ∠PDC+∠ PCD= （∠ BCD+∠ CDE）=120 ，°∴ ∠P=180 ﹣°120 °=60 ．°故选： A．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．9．如图，若锐角△ ABC 内接于⊙ O，点 D 在⊙ O 外（与点 C 在 AB 同侧），则下列三个结论：① sin ∠ C ＞ sin∠D；②cos ∠ C＞ cos∠ D；③tan ∠ C＞ tan ∠ D 中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③【考点】 锐角三角函数的增减性；圆周角定理．【分析】 连接 BE ，根据圆周角定理，可得∠ C=∠AEB ，因为 ∠ AEB=∠ D+∠ DBE ，所以 ∠ AEB ＞ ∠ D ，所以 ∠ C ＞∠ D ，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．【解答】 解：如图，连接 BE ，根据圆周角定理，可得∠ C=∠ AEB ，∵ ∠AEB=∠D+∠ DBE ，∴ ∠AEB ＞∠ D ，∴ ∠C ＞ ∠D ，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin ∠ C ＞ sin ∠ D ，故 ① 正确； cos ∠ C ＜ cos ∠ D ，故 ② 错误； tan ∠ C ＞ tan ∠ D ，故 ③ 正确； 故选： D ．【点评】 本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠ C ＞ ∠ D ．10．对于二次函数 y=﹣ x 2+2x ．有下列四个结论： ① 它的对称轴是直线x=1；② 设 y 1=﹣ x 1 2+2x 1，y 2=﹣ x 22+2x 2，则当 x 2＞ x 1 时，有 y 2＞ y 1； ③ 它的图象与x 轴的两个交点是（ 0，0）和（ 2，0）； ④ 当0＜ x ＜ 2 时， y ＞ 0．其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【考点】 二次函数的性质．【专题】 压轴题．【分析】 利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x 轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．【解答】 解： y=﹣ x 2+2x=﹣（ x ﹣ 1）2+1，故 ① 它的对称轴是直线 x=1，正确；② ∵直线 x=1 两旁部分增减性不一样，∴设 y 1=﹣ x 12+2x 1，y 2=﹣ x 22+2x 2，则当 x 2 ＞x 1 时，有 y 2＞ y 1或 y 2＜y 1，错误；③ 当 y=0，则 x （﹣ x+2） =0，解得： x 1=0， x 2=2，故它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0），正确；④ ∵ a=﹣ 1＜0，∴ 抛物线开口向下，∵ 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0），∴ 当 0＜ x ＜2 时， y ＞ 0，正确．故选： C ．【点评】 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．二、填空题（共4 小题，每小题3 分，计12 分）11．若使二次根式有意义，则x 的取值范围是x ≥2 ．【考点】 二次根式有意义的条件．【专题】 计算题．【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】 解： ∵ 二次根式有意义，∴ 2x ﹣ 4 ≥0，解得x ≥2．故答案为：x ≥2．【点评】 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0 ．12．请从以下两个小题中个任意选一作答，若对选，则按第一题计分． A ．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点 20m的点 A 处，测得楼顶B 点的仰角∠ OAB=60 ，°则这幢大楼的高度为（用科学计算器计算，结果精确到米）．B ．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为﹣× 106．【考点】 解直角三角形的应用 -仰角俯角问题；科学记数法 —表示较小的数．【分析】 A 、根据正切的概念求出OB 即可；B 、利用科学记数法表示较小的数解答即可．【解答】 解： A 、 tanA=，则 OB=OA?tanA=20×=，故答案为：；、 × ﹣ 6， B = 10故答案为： ×10﹣6．【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及科学计数法表示较小的数，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确用科学计数法表示较小的数是解题的关键．13．已知 k ＞ 0，且关于 x 的方程 3kx 2+12x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么k 的值等于 3 ．【考点】 根的判别式．【分析】 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△ =b 2﹣ 4ac=0，据此可列出关于 k 的等量关系式，即可求得k 的值．【解答】 解： ∵ 关于 x 的方程 3kx 2+12x+k+1=0 有两个相等的实数根，∴ △=b 2﹣4ac=144﹣ 4×3k ×（ k+1）=0，解得 k=﹣ 4 或 3，∵ k ＞0 ，∴ k=3．故答案为 3．【点评】 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（ a ≠0）的根与 △ =b 2﹣ 4ac 有如下关系：（ 1） △ ＞ 0?方程有两个不相等的实数根； （ 2） △ =0?方程有两个相等的实数根；（ 3） △ ＜ 0?方程没有实数根．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边图象经过该菱形对角线的交点 A ，且与边 BC 交于点OB 在 x 轴正半轴上，反比例函数y=F ．若点 D 的坐标为（ 6，8），则点（ x ＞0）的 A 的坐标是（ 8， 4）．【考点】 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】 由点 D 的坐标为（ 6， 8），可求得菱形OBCD 的边长，又由点 A 是 BD 的中点，求得点 A的坐标．【解答】 解： ∵ 点 D 的坐标为（ 6， 8），∴ OD==10，∵ 四边形 OBCD 是菱形，∴ OB=OD=10，∴ 点 B 的坐标为：（ 10， 0），∵ AB=AD ，即 A 是 BD 的中点，∴ 点 A 的坐标为：（ 8， 4），故答案是：（ 8， 4）．【点评】 此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质．此题利用了菱形的四条边都相等的性质求得边 OB 的长度是解题的难点．三、解答题（共11 小题，计78 分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）15．计算：（ 2015﹣π）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣3tan30 +6°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用二次根式性质化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式 =1﹣3+﹣1﹣+2=2﹣3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=3．【考点】分式的化简求值．【分析】先计算括号里面的，再把分子、分母因式分解，约分即可，把a=3 代入计算即可．【解答】解：原式 =×=，当 a=3 时，原式 == ．【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．17．如图，在△ABC中， AB=4cm， AC=6cm．（1）作图：作 BC边的垂直平分线分别交与 AC， BC于点 D， E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（ 2）在（ 1）的条件下，连结BD，求△ABD 的周长．【考点】作图—复杂作图．【分析】（ 1）运用作垂直平分线的方法作图，（ 2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ ABD 的周长 =AB+BD+AD=AB+AC即可求解．【解答】解：（ 1）如图 1，（ 2）如图 2，∵DE 是 BC 边的垂直平分线，∴ BD=DC，∵AB=4cm， AC=6cm．∴ △ABD 的周长 =AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法．18． 2010 年 5 月 1 日，第 41 届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解， B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（ 1）求该班共有多少名学生；（ 2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少【考点】扇形统计图；条形统计图；概率公式．【专题】压轴题；阅读型；图表型．【分析】（ 1）根据 A 是 5 人，占总体的10%，即可求得总人数；（2）根据总人数和 B 所占的百分比是 30%求解；（3）首先计算 C 所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数；（4）只需求得 D 所占的百分比即可．【解答】解：（ 1） 5÷10%=50（人）．（2） 50×30%=15（人）．见图：（3） 360°× =144°．（ 4）．【点评】读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．总体数目 =部分数目÷相应百分比．部分数目 =总体数目乘以相应概率．概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图， ?ABCD的对角线AC、 BD 相交于点O，AE=CF．（1）求证：△ BOE≌ △ DOF；（2）若 BD=EF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD的形状，无需说明理由．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（ 1）先证出OE=OF，再由 SAS即可证明△ BOE≌△ DOF；EBFD （ 2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形是矩形．【解答】（ 1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴OA=OC， OB=OD，∵AE=CF，∴ OE=OF，在△BOE 和△ DOF中，，∴ △BOE≌ △ DOF（ SAS）；（ 2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形 EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形 EBFD是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．20．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80 米，到达点 D 处（ C、 D、 B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端 A 的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据：≈，≈）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先设 AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ ACB 和 Rt△ ADB，应利用其公共边BA 构造等量关系，解三角形可求得DB、 CB 的数值，再根据CD=BC﹣ BD=80，进而可求出答案．【解答】解：设 AB=x，在 Rt△ ACB和 Rt△ ADB 中，∵ ∠C=30 ，°∠ADB=45 ，°CD=80∴ DB=x，AC=2x， BC==x，∵ CD=BC﹣ BD=80，x﹣ x=80，∴ x=40（+1）≈米．答：该大厦的高度是米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．为绿化校园，某校计划购进A、B 两种树苗，共21 课．已知 A 种树苗每棵90 元， B 种树苗每棵70 元．设购买 B 种树苗 x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（ 1） y 与 x 的函数关系式为：y=﹣ 20x+1890；（ 2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【考点】一次函数的应用．【分析】（ 1）根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用 +B 种树苗费用，即可解答；（ 2）根据购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，列出不等式，确定x 的取值范围，再根据（1）得出的 y 与 x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．【解答】解：（ 1） y=90（21 ﹣x） +70x=﹣ 20x+1890，故答案为： y=﹣20x+1890 ．（ 2）∵购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，∴x＜ 21﹣ x，解得： x＜，又∵x≥1，∴x 的取值范围为： 1 ≤ x ≤，10且 x 为整数，∵ y=﹣ 20x+1890， k=﹣ 20＜ 0，∴y 随 x 的增大而减小，∴当 x=10 时， y 有最小值，最小值为：﹣ 20 × 10+1890=1690，∴ 使费用最省的方案是购买 B 种树苗 10 棵， A 种树苗 11 棵，所需费用为1690 元．【点评】题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．22．小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5， 10， 15，20（单位：元）的4 件奖品．（ 1）如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为25%（ 2）如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30 元的概率为多少【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（ 1）随机事件 A 的概率 P（ A） =事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用 1 除以 4，求出抽中20 元奖品的概率为多少即可．（ 2）首先应用树状图法，列举出随机翻 2 张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于30 元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于30 元的概率为多少即可．【解答】解：（ 1）∵1÷4==25%，∴抽中 20 元奖品的概率为25%．故答案为： 25%．（ 2），∵所获奖品总值不低于30 元有 4 种情况： 30 元、 35 元、 30 元、 35 元，∴所获奖品总值不低于30 元的概率为：4÷ 12=．【点评】（1）此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件 A 的概率 P（A） =事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（ 2）此题还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．23．如图，AB 是⊙O 的弦， OP⊥ OA 交AB 于点P，过点 B 的直线交OP 的延长线于点C，且CP=CB．（ 1）求证： BC 是⊙ O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为，OP=1，求BC的长．【考点】 切线的判定．【专题】 几何图形问题．【分析】 （ 1）由垂直定义得 ∠ A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由 CP=CB 得 ∠ CBP=∠ CPB ，根据对顶角相等得 ∠ CPB=∠ APO ，所以 ∠ APO=∠ CBP ，而 ∠ A=∠ OBA ，所以∠ OBC=∠ CBP+∠ OBA=∠ APO+∠ A=90 ，°然后根据切线的判定定理得到 BC 是 ⊙ O 的切线；（ 2）设BC=x ，则PC=x ，在Rt △ OBC 中，根据勾股定理得到（）2+x 2=（ x+1）2，然后解方程即可．【解答】 （ 1）证明：连接 OB ，如图，∵ OP ⊥ OA ，∴ ∠AOP=90 ，°∴ ∠A+∠ APO=90 ，°∵ CP=CB ，∴ ∠CBP=∠ CPB ，而 ∠CPB=∠ APO ，∴ ∠APO=∠ CBP ，∵ OA=OB ，∴ ∠A=∠ OBA ，∴ ∠OBC=∠CBP+∠ OBA=∠ APO+∠ A=90 ，°∴ OB ⊥BC ，∴ BC 是⊙ O 的切线；（ 2）解：设 BC=x ，则 PC=x ，在 Rt △ OBC 中， OB=， OC=CP+OP=x+1，∵ OB 2+BC 2=OC 2，∴ （） 2+x 2=（ x+1） 2，解得 x=2，即 BC 的长为 2．【点评】 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ．抛物线 y=ax 2+bx+c的对称轴是 x=﹣ 且经过 A 、 C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（ 1） ① 直接写出点 B 的坐标； ② 求抛物线解析式．（ 2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA ，PC ．求 △PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．（ 3）抛物线上是否存在点M ，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N ，使得以点 A 、 M 、N 为顶点的三角形与 △ABC 相似若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 二次函数综合题．【专题】 压轴题．【分析】 （ 1）① 先求的直线y= x+2 与x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B 的坐标； ② 设抛物线的解析式为y=y=a （ x+4）（ x ﹣ 1），然后将点C 的坐标代入即可求得a 的值；（ 2）设点 P 、 Q 的横坐标为 m ，分别求得点 P 、Q 的纵坐标，从而可得到线段PQ= m 2﹣ 2m ，然后利用三角形的面积公式可求得S △ PAC = × PQ ×4，然后利用配方法可求得 △ PAC 的面积的最大值以及此时m 的值，从而可求得点P 的坐标；（ 3）首先可证明 △ ABC ∽ △ACO ∽ △ CBO ，然后分以下几种情况分类讨论即可：① 当M 点与C 点重合，即 M （ 0，2）时，△ MAN ∽ △ BAC ；② 根据抛物线的对称性，当 M （﹣ 3，2）时，△ MAN ∽ △ ABC ；④ 当点 M 在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．【解答】 解：（ 1） ①y=当 x=0 时， y=2，当 y=0 时， x=﹣ 4，∴ C （ 0，2）， A （﹣ 4， 0），由抛物线的对称性可知：点A 与点B 关于 x=﹣ 对称，∴ 点 B 的坐标为 1， 0）．② ∵抛物线 y=ax 2+bx+c 过 A （﹣ 4， 0）， B （ 1，0），∴ 可设抛物线解析式为y=a （ x+4）（ x ﹣1），又 ∵抛物线过点 C （ 0， 2），∴ 2=﹣ 4a∴ a=∴ y=x 2x+2．（ 2）设 P （ m ，m 2m+2）．过点 P 作 PQ ⊥ x 轴交 AC 于点 Q ，∴ Q （ m ， m+2），∴ PQ=m 2m+2﹣（ m+2）=m 2﹣ 2m ，∵ S △PAC = × PQ ×4，=2PQ=﹣ m 2﹣4m=﹣（ m+2） 2+4，∴ 当 m=﹣2 时， △ PAC 的面积有最大值是 4， 此时 P （﹣ 2， 3）．（ 3）在 Rt △ AOC 中， tan ∠ CAO= 在 Rt △ BOC 中， tan ∠ BCO= ，∴ ∠CAO=∠ BCO ，∵ ∠BCO+∠OBC=90 ，°∴ ∠CAO+∠ OBC=90 ，°∴ ∠ACB=90 ，°∴ △ABC ∽ △ ACO ∽ △CBO ，如下图：① 当 M 点与 C 点重合，即② 根据抛物线的对称性，当M （ 0， 2）时， △ MAN ∽ △ BAC ；M （﹣ 3， 2）时， △ MAN ∽ △ ABC ；③ 当点M在第四象限时，设M （ n ，n 2n+2），则N （ n ， 0）∴ MN= n 2+ n ﹣ 2， AN=n+4当时， MN= AN ，即 n 2+ n ﹣ 2= （ n+4）整理得： n 2+2n ﹣ 8=0解得： n1=﹣ 4（舍）， n2=2 ∴ M（ 2，﹣ 3）；当时， MN=2AN ，即 n 2+ n ﹣2=2（ n+4），整理得： n 2﹣ n﹣ 20=0解得： n1=﹣ 4（舍）， n2=5，∴ M（ 5，﹣ 18）．综上所述：存在 M 1（0， 2）， M2（﹣ 3，2）， M3（ 2，﹣ 3）， M 4（5 ，﹣ 18），使得以点A、M 、N 为顶点的三角形与△ ABC相似．【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．25．（ 1）问题发现如图 1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点A， D， E 在同一直线上，连接BE．填空：① ∠AEB 的度数为60°；②线段 AD， BE之间的数量关系为AD=BE．（ 2）拓展探究如图 2，△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中 DE 边上的高，连接BE，请判断∠ AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（ 3）解决问题如图 3，在正方形ABCD中， CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点 A 到 BP 的距离．【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．【专题】综合题；压轴题；探究型．【分析】（1）由条件易证△ ACD≌ △ BCE，从而得到： AD=BE，∠ ADC=∠ BEC．由点 A， D，E 在同一直线上可求出∠ ADC，从而可以求出∠AEB的度数．（ 2）仿照（ 1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM 为△ DCE中 DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．（3）由 PD=1可得：点 P 在以点 D 为圆心， 1 为半径的圆上；由∠ BPD=90°可得：点 P 在以 BD 为直径的圆上．显然，点 P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（ 2）中的结论即可解决问题．【解答】解：（ 1）①如图 1，∵ △ACB 和△ DCE均为等边三角形，∴ CA=CB， CD=CE，∠ ACB=∠ DCE=60 ．°∴ ∠ACD=∠ BCE．在△ACD 和△ BCE中，∴ △ACD≌△ BCE（ SAS）．∴ ∠ADC=∠ BEC．∵ △DCE为等边三角形，∴ ∠CDE=∠ CED=60 ．°∵点 A， D， E 在同一直线上，∴ ∠ADC=120 ．°。