数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】曲线方程及圆锥曲线典型例题解析一．知识要点1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。

这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。

即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。

如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。

这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。

解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。

（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。

（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题模型的解数学模型方程讨论方程的解翻译回去建立坐标系 转化成数学问题（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。

二．典例解析 题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

（2）双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。

解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=，当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ② 将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③ 移项再两边分别平方得：222(3)12x y x ++=+ ④两边再平方得：22341080x y +-=，整理得2213627x y +=，xy1O2OP所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=，轨迹是椭圆。

（法二）由解法一可得方程12=，由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，∴26c =，212a =，∴3c =，6a =， ∴236927b =-=，∴圆心轨迹方程为2213627x y +=。

（2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，∴c ==∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ∆存在，∴10y ≠由三角形重心坐标公式有11(3003x x y y ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即1133x x y y =⎧⎨=⎩ 。

∵10y ≠，∴0y ≠。

已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。

例2．（2001上海，3）设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。

解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ） ∴2,200yy x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。

题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3．（1）设AB 是过椭圆x a y ba b 222210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ） A. bcB. abC. acD. b 2（2）已知双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A. 43B. 53C. 2D. 72（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 222591+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10 B. 105- C. 105+D. 1025+解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。

又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为12cb 。

所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。

点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。

（2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223= 由双曲线的第二定义可得||PF x acca 22-=， 所以x a c =532。

又x a a c a ≥≥，即532，从而e c a =≤53。

故选B 。

点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532a ca ≥成立的条件。

利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。

（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。

连PB ，PF 。

由椭圆的定义知：||||PB PF +=10，所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。

由平面几何知识，||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，而||()()AF =-+-=3420522， 所以(||||)min PA PB +=+105。

点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。

例4．（1）（06全国1文，21）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值。

（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.①求该椭圆的标准方程；②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； ③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。

（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。

(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。

解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上，所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2，=(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2。

因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=11－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1，若1<a<2,则当y=－1时, |PQ|取最大值2。

（2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x 。

②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)，由x=210+x 得x 0=2x －1 y=2210+y y 0=2y －21由,点P 在椭圆上,得1)212(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)41(4)21(22=-+-y x 。

③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。

当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入1422=+y x ,解得B(1422+k ,1422+k k ),C(－1422+k ,－1422+k k )，则224114kk BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d=2121kk +-，∴△ABC 的面积S △ABC =2411221kk d AB +-=⋅。

于是S △ABC =144114144222+-=++-k kk k k 。

由1442+k k ≥－1,得S △ABC≤2,其中,当k=－21时,等号成立。

∴S △ABC 的最大值是2。

（3）解：设椭圆方程为22221()x y a b c a b+=>>（Ⅰ）由已知得222224b cac a b c=⎧⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=+⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴所求椭圆方程为2212x y +=。