【典例1】（1）（2012·辽宁高考）函数 y 1x2 ln x 的递减
2
区间为( )
（A）(-1,1］
（B）(0,1］
（C）［1,+∞)
（D）(0,+∞)
（2）（2012·北京高考改编）已知函数f(x)=ax2+1(a>0), g(x)=x3+bx. ①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切 线,求a,b的值; ②当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
（A）( 0 , 1 )
a
（B）( 1 , )
a
（C）( , 1 )
a
（D）(-∞,a)
【解析】选A.由 fx＝1－a0，得 0 x 1 ， ∴f(x)的递增
x
a
区间为 ( 0 ， 1 ) ．
a
2．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，
【思路点拨】（1）保证函数有意义的前提下，利用y′≤0求
解.
(2)①利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等，
构造方程组求解；②构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求
单调区间.
【规范解答】（1）选B.由 y(1x2lnx） x10 ⇒
（2）极小值 在包含x0的一个区间（a,b）内，函数y=f(x)在任何一点的函 数值都_大__于__或__等__于__x0点的函数值，称_点__x_0 为函数y=f(x)的极 小值点，其函数值_f_(_x_0)_为函数的极小值. _极__大__值__与_极__小__值__统称为极值，_极__大__值__点__与_极__小__值__点__统称为 极值点.
（2）求函数在闭区间［a,b］上的最值可分两步进行： ①求y=f(x)在(a,b)内的_极__值__； ②将函数y=f(x)的各极值与区间［a,b］端点处的函数值f(a)， f(b)比较，其中_______最__大__的为一最个大值，_______最__小__的为一最个小值.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. (1) f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是 极小值.( )
4．已知f(x)＝x3－ax在［1，＋∞)上是增加的，则a的最大值
是( )
（A）0 （B）1
（C）2
（D）3
【解析】选D. f′(x)＝3x2－a≥0在［1，＋∞)上恒成立，即
a≤3x2在［1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3. ∴a≤3，故amax＝3.
5．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，
第十一节 导数与函数的单调性、 极值、最值
1.函数的单调性与导数的关系 （1）函数y=f(x)在（a，b）内可导
常数函数
（2）单调性的应用 若函数y=f(x)在区间（a,b）上单调，则y=f′(x)在该区间上 _不__变__号__.
2.函数的极值
（1）极大值
在包含x0的一个区间（a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数 值都_小__于__或__等__于__x0点的函数值，称_点__x_0 为函数y=f(x)的极大 值点，其函数值_f_(_x_0)_为函数的极大值.
(4)错误.对可导函数f(x)，f′(x0)=0只是x0点为极值点的必 要条件，如y=x3在x=0时f′(0)=0，而函数在R上为增函数，所 以0不是极值点． (5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极 值. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
1．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的递增区间为( )
则f(x)>x的解集是( )
（A）(0,1)
（B）(－1,0)∪(0,1)
（C）(1)
【解析】选C.令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所
以F(x)是增函数，故易得F(x)>F(1)的解集，即f(x)>x的解集
是(1，＋∞)．
考向 1 利用导数研究函数的单调性
【解析】（1）错误.f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之 不一定．如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增，但 f′(x)≥0．所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分条件， 但不是必要条件． (2)错误．一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一 个. (3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极 大值可能比极小值大，也可能比极小值小.
（3）导数与极值
x f′(x) y=f(x) f′(x) y=f(x)
(a,x0) +
增加 -
减少
x0 0 极大值 0 极小值
(x0,b) -
减少 +
增加
3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数y=f(x)极值的步骤： ①求出导数f′(x)； ②解方程f′(x)=0； ③对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析f′(x0)在x0左、右两 侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：若f′（x）在 x0两侧的符号“_左__正__右__负__”，则x0为极大值点；若f′（x） 在x0两侧的符号“左_负__右__正____”，则x0为极小值点；若f′（x） 在x0两侧的符号相_同____，则x0不是极值点.
则下列点中一定在x轴上的是( )
（A）(a，b)
（B）(a，c)
（C）(b，c)
（D）(a＋b，c)
【解析】选A.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方程 3ax2＋2bx＋c＝0的两根，∴ 1－1＝－ 2b， b＝0.
3a
3.函数f(x)=x3-3x,x∈(-1,1)( ) （A）有最大值，但无最小值 （B）有最大值，也有最小值 （C）无最大值，也无最小值 （D）无最大值，但有最小值 【解析】选C.f′(x) =3x2-3,∵x∈(-1,1),∴f′(x)＜0, ∴f(x)在(-1,1)上是减少的，故f(x)无最大值，也无最小值.