其中 l > 0 为常数，则称 X 服从参数 l 的指数分布。 分布函数为
ì 0 ï ï F ( x) = í -lx ï 1 e ï î
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x£ 0 x> 0
21
正态分布

设随机变量 X 的概率密度为
骣 ( x - m)2 ÷ 1 ÷ f ( x) = exp ç ,- ? x< ? ç 2 ÷ ç ÷ 桫 2s 2ps 2 m m , s X s > 0 其中 和 为常数，则称 服从参数为 的正态分 布，记为 X : N (m, s 2 ) 。正态分布也称作高斯分布。
P( A1 U A2 U...) = P( A1 ) + P( A2 ) + ...
则称该集合函数值 P ( A) 为事件A的概率。
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6
概率的性质

性质1： P(F ) = 0 性质2（有限可加性）：若 A1 , A2 ,..., Ak 是两两互不相容事件， 则 P( A U A U... U A ) = P( A ) + P( A ) + ... + P( A )
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均匀分布

设随机变量 X 的概率密度为

ì 1 ï ï a ＃x b ï f ( x) = í b - a ï ï others ï î 0 则称 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分布，记为 X : U (a, b) 。 均匀分布的概率密度在区间 [a, b] 上相同，即可得随机变量 X 落在 [a, b] 内某一子区间内的概率与子区间的长度成正比。其
P({ei }) = 1/ n

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8
条件概率、乘法公式

条件概率考虑在事件A已发生的前提下，事件B发生的概率， 记作P(B|A)。 定义：设A、B两个事件，且 P( A) > 0 ，称
P( AB) P( B | A) = P( A)

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 乘法公式：若 P( A) > 0 ，则 P( AB) = P( B | A) P( A) 设 A1 , A2 ,..., An 为 n 个事件，且 P( A 1A 2 ... A n- 1 ) > 0 ，则有
U
n
i= 1
P( A | Bi ) P( Bi )
Bayes公式：设样本空间S和事件A， B1 , B2 ,..., Bn 为S的一个划 分，且 P( A) > 0, P( Bi ) > 0 ，则有
P( Bi | A) =
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P( A | Bi ) P( Bi )
1 2 k 1 2 k

性质3：设事件A与B，若 A Ì B ，则
P( B - A) = P( B) - P( A) P( B) ³ P( A)


性质4：对任意事件A，有 P( A) £ 1 。 性质5：对任意事件A，有 P( A) = 1- P( A) 。 性质6：设任意事件A与B，则
P( A U B) = 庄伯金 bjzhuang@
P( A) + P( B) - P( AB)
7
古典概型


两个前提 试验的样本空间S是有限集； 试验中每个基本事件发生的可能性相同。 古典概型也称为等可能概型。 古典概型的计算：已知样本空间 S = {e1 ,..., en }，基本事件的 概率相等，即 P({e1}) = ... = P({en })，则有 古典概型的计算方法：A中包含基本事件数/S中包含基本事件 总数。
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4
事件的关系与运算




包含关系：若样本空间S中的事件A和B，满足 A Ì B ，则称事件B包含A。 和事件： A U B 和事件发生当且仅当事件A与B中至少有一个发生。 积事件： A I B 积事件发生当且仅当事件A与B同时发生； 也记作AB； 差事件： A - B 差事件发生当且仅当事件A发生且B不发生。 互斥事件：若 A I B = F ，则称事件A与B互不相容或互斥。 对立事件：若 A U B = S 且 A I B = F ，则称事件A与B互为对立事件， 或互为逆事件。
14
伯努利试验

设试验E只有两个可能结果：A 和 A ，则称E为伯努利试验。 两个结果发生的概率分别为
P( A) = p, P( A) = 1- p,(0 < p < 1).

n重伯努利试验：将E独立重复进行n次。 独立：各次试验结果互不影响； 重复：每次试验结果的概率保持不变。
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2
基本概念


概率的公理化 试验、样本空间、事件 频率与概率 古典概型 条件概率 独立性
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3
样本空间与随机事件



样本空间：随机试验中所有可能结果组成的集合。 样本空间为集合； 通常记作S； 包含了所有的可能情况，是随机试验结果的全集。 样本点：随机试验的每个结果。 随机事件：随机试验中满足某种条件的样本点组成的集合。 事件发生：在试验中，当且仅当事件子集中的一个样本点出现时，称为事 件发生。 基本事件：由一个样本点组成的单点集。 必然事件：每次试验中，事件总是发生。 不可能事件：每次试验中，事件都不发生。
j= 1
å
n
P( A | B j ) P( B j )
10
独立性

定义：设事件A和B，若满足等式
P( AB) = P( A) P( B)

则称事件A和B相互独立。 定理1：设事件A和B，且 P( A) > 0 ，则A、B独立当且仅当
P( B | A) = P( B)

定理2：若事件A和B相互独立， 则下列事件也相互独立：A A 和B 。 和 B ， A 和B ，
n k k lim Cn pn (1- pn ) n- k
l k e- l = k!

当 n 很大， p 很小时，有近似式
k k Cn p (1- p)n- k
其中 l = np 。
l k e- l ? k!
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分布函数

定义：设 X 是随机变量， x 是任意实数，函数

F ( x) 右连续，即 F ( x + 0) = F ( x) 。
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连续型随机变量、概率密度

定义：若对于随机变量 X 的分布函数 F ( x) ，存在非负可积 函数 f ( x) ，使对于任意实数 x 有
F ( x) =
ò
x
- ?
f (t )dt
15
二项分布、泊松分布

定义：随机变量 X 表示n重伯努利试验中事件 A 发生的次数， 则随机变量 X 的分布律为
k k P{X = k} = Cn p (1- p)n- k , k = 0,1,..., n 称随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记为
X : b(n, p)

设随机变量 X 所有可能的取值为 0,1, 2,... ，其分布律为
分布函数为
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ì 0 ï ï ï ï x- a ï F ( x) = í ï b- a ï ï ï ï î 1
x< a a ＃x x> b
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b
指数分布

设随机变量 X 的概率密度为
- lx ì ï l e f ( x) = ï í ï ï î 0
x> 0 x£ 0
随机变量

试验结果的抽象化：将试验结果映射为一个实数。即

X : S = {e} ? R 实值函数 X = X (e) 称为随机变量。
随机变量的取值不相等时，所对应的事件互不相容。 随机变量的分类 离散型随机变量：随机变量的取值为有限个或可列无限个。 连续型随机变量：非离散型随机变量。
F ( x) = P{X ? x}, ?

x< ?
称为 X 的分布函数。 分布函数 F ( x) 是个不减函数。
F ( x2 ) - F ( x1 ) = P{x1 < X ３x2}

0, x1 < x2
0 ＃F ( x)
F (- ? )
1，且有
x?
lim F ( x) = 0
?
F (? )
x
lim F ( x) = 1
概率论与随机过程
期末复习-概率论
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1
答疑时间

答疑时间：周一上午、周二上午、周四下午，周一至周五中午 答疑地点：教二214 理学院统一期末习题课 2012.5.25 18：30-20：20 教三339 郭永江老师

庄伯金 bjzhuang@

1）B B
i
j
= F , i ? j, i, j
Bi = S
1, 2,..., n

2）

则称 B1 , B2 ,..., Bn 为样本空间S的一个划分。 全概公式：设 B1 , B2 ,..., Bn 为S的一个划分，且有 P( Bi ) > 0， 则事件A的概率为：
U
n
i= 1
P( A) =

l k e- l P{ X = k} = , k = 0,1, 2,... k! 其中l > 0 为常数，则称 X 服从参数为 l 的泊松分布，记为 X : p (l )
庄伯金 bjzhuang@ 16