1．运动的合成与分解
一、基础知识
1．物体做曲线运动的条件：F合与v不共线．
2．研究曲线运动的方法：运动的合成与分解．
3．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则或三角形定则．
4．合运动与分运动的三个特性：等时性、独立性、等效性．
5．特别注意：合运动就是物体的实际运动．
二、解决运动的合成与分解的一般思路
1．明确合运动或分运动的运动性质．
2．确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解．
3．找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)．
4．运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解．
三、典型例题
考点1 运动的合成与分解的理解
[例1] 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成θ角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，橡皮的速度方向与水平方向的夹角为α，则( )
A．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而增大
B．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而减小
C．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为22v
D．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为2＋2v
解析若θ＝0，则橡皮的运动可视为水平方向随钉尖一起匀速，竖直方向细线的缩短长度等于水平方向细线增加的长度，即竖直方向也做与钉尖运动速率相同的匀速运动，所以橡皮的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，与钉尖的速度v无关，选项A、B错；若θ＝45°，
钉尖的速度为v，则橡皮在水平方向的分速度为
2
2
v，而在t时间内沿竖直方向向上运动的距
离为y＝vt＋
2
2
vt，即竖直方向的分速度为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋
2
2
v，所以橡皮速度为2＋2v，C错、D
对．
答案 D
考点2 小船渡河问题
[例2] (多选)甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划
船速度均为v ，出发时两船相距23
3H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点．则下列判断正确的是( )
A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B ．v ＝2v 0
C ．两船可能在未到达对岸前相遇
D ．甲船也在A 点靠岸
解析 将两船的运动分解为垂直于河岸方向和沿河岸方向，在垂直于河岸方向上，两船的分速度相等，河宽一定，所以两船渡河的时间相等．故A 错误．乙船的合速度垂直于河岸，有v cos 60°＝v 0，所以v ＝2v 0.故B 正确；两船渡河的时间t ＝
H v sin 60°，则甲船在沿河岸方向上的位移x ＝(v 0＋v cos 60°)t ＝2v 0×
H
v sin 60°＝233H .知甲船恰好能到达河对岸的A 点．故C 错误，D 正确．故选B 、D.
答案 BD
考点3 关联速度问题
[例3] 质量为m 的物体P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v 水平向右做匀速直线运动．当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是( )
A ．P 的速率为v
B ．P 的速率为v cos θ2
C ．绳的拉力等于mg sin θ1
D ．绳的拉力小于mg sin θ1
解析 将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v 1、v 2，P 的速率等于v 1＝v cos θ2，A 错误，B 正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，P 的速率增大，绳的拉力大于mg sin θ1，
C 、
D 错误；故选B.
答案 B
四、针对训练
1．关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是( )
A ．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B ．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向
C ．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用
D ．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
解析：选C.物体在垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变，故A 错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B 错误；曲线运动的物体的条件，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，C 正确；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故D 错误．
2． (多选)一快艇从离岸边100 m 远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示．则( )
A ．快艇的运动轨迹一定为直线
B ．快艇的运动轨迹一定为曲线
C ．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s
D ．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
解析：选BC.A 、B 两分运动为一个做匀加速直线运动，一个做匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动．故A 错误、B 正确．C 、D 当
快艇速度垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a ＝0.5 m/s 2，由d ＝12
at 2，得t ＝20 s ，而位移大于100 m ，选项C 正确、D 错误．故选B 、C.
3． (多选)如图所示，质量相同的两物体a 、b ，用伸长量不计的轻绳跨接在同一光滑的轻质定滑轮两侧，a 在水平桌面的上方，b 在水平粗糙桌面上，初始时用力压住b 使a 、b 静止，撤去此压力后，a 开始运动，在a 下降的过程中，b 始终未离开桌面，在此过程中( )
A ．a 的动能小于b 的动能
B．两物体机械能变化量相等
C．a的重力势能的减小量等于两物体总动能的增加量
D．绳的拉力对a所做的功与对b所做的功的代数和为零
解析：选AD.将b的实际速度进行分解如图：
由图可知v a＝v b cos θ，即a的速度小于b的速度，故a的动能小于b的动能，A正确；由于有摩擦力做功，故ab系统机械能不守恒，则二者机械能的变化量不相等，B错误；a的重力势能的减小量等于两物体总动能的增加量与产生的内能之和，故a的重力势能的减小量大于两物体总动能的增加量，C错误；在这段时间t内，绳子对a的拉力和对b的拉力大小相等，绳子对a做的功等于－F T v a t，绳子对b的功等于拉力与拉力方向上b的位移的乘积，即F T v b cos θt，又v a＝v b cos θ，所以绳的拉力对a所做的功与对b所做的功的绝对值相等，二者代数和为零，故D正确．。