{来源}2019年河南省中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年河南省中考数学试卷考试时间：100分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}1．（2019河南省，T1） 12的 绝对值是( )12（A ）- 12（B ）2（C ） 2（D ） - {答案} B{解析}本题考查了绝对值的 概念，解题的 关键是理解绝对值的 意义．此类问题容易出错的地方是容易与倒数或相反数混淆．根据绝对值的 意义:一个正数的 绝对值是它本身，一个负数的 绝对值是它的 相反数，0的 绝对值是0，从而可得12的 绝对值是12，即1122． 故答案选B{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的 意义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．（2019河南省,T2） 成人每天维生素D 的 摄入量约为0.0000046克 ．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（A ） 46×10-7 （B ） 4.6×10-7 （C ）4.6×10-6 （D ）0.46×10-5 {答案} C{解析}本题考查了科学记数法，解题的 关键是正确确定a 的 值以及n 的 值．0.0000046是绝对值小于1的 数，这类数用科学计数法表示的 方法是写成a×10-n （1≤a ＜10，n ＞0 ）的 形式，关键是确定－n ，确定了n 的 值，－n 的 值就确定了．确定方法是：n 的 值等于原数中左起第一个非零数前零的 个数（含整数位数上的 零）．故0.0000046中左起第一个非零数为4，其左边六个零，即0.0000046=4.6×10-6．答案选C ．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较小的 数科学计数法} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}3．（2019河南省,T3） 如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的 度数为（A ）45° （B ）48° （C ）50° （D ）58° {答案} B{解析}如图，设CD 和BE 的 交点为F ，∵AB∥CD，∠B=75°，∴∠B=∠CFE=75°，∵∠CFE=∠D+∠E， ∠E=27°， ∴∠D=∠CFE -∠E=75°-27°=48°.故选B ． {分值}3{章节:[1-5-3]平行线的 性质} {考点:两直线平行同位角相等} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}4．（2019河南卷,T4）下列计算正确的 是（ ）A.236a a a +=B.22(3)6a a -=C.222()x y x y -=- D.={答案} D{解析}本题考查了合并同类项、积的 乘方、乘法公式、合并同类二次根式，A 合并同类项系数2+3=5，,不是2×3=6，B 错-3的 平方等于9，C 中乘法公式用错，D 正确，选D {分值}3{章节:[1-14-1]整式的 乘法} {考点:多项式乘以多项式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}5.（2019河南,T5）如图（1）是由大小相同的 小正方体搭成的 几何体，将上层的 小正方体平移后得到图（2），关于平移前后几何体的 三视图，下列说法正确的 是（ ）A.主视图相同B.左视图相同C. 俯视图相同D.三种视图都不相同{答案} c{解析}本题考查了三视图，对比平移前后结果A 主视图不同，B 左视图不同，AB 选项不对，C 俯视图相同，C 正确.故选Ｃ． {分值}3{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:简单组合体的 三视图} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}6．（2019河南,T6）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的 根的 情况是（ ）A.有两个不相等的 实数根B.有两个相等的 实数根C.只有一个实数根D.没有实数根 {答案} A{解析}本题考查了一元二次方程根的 判别式，先化简，∵2123x x -=+，∴2240x x --=，△=2-+16=20（2）>0，故选A {分值}3{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的 判别式}{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}7．（2019河南,T7）．某超市销售 A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的 单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的 销售情况如图所示，则这天销售的 矿泉水的 平均单价是（ ） A ．1.95 元 B ．2.15 元 C ．2.25 元 D ．2.75 元{答案}C{解析}本题考查了加权平均数的 概念和意义，由题意可知各种不同价格的 百分比就是权重，最终的 平均数就等于每个价格乘以权重，所以平均单价为：5×10%+3×15%+2×55%+1×10%=2.25，所以最后的 平均单价为2.25元.因此本题选C ． {分值}3{章节:[1-20-1-1]平均数}{考点:加权平均数（权重为百分比）} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}8．（2019年河南,T8）已知抛物线 y = x 2+bx + 4 经过(-2 ，n)和）(4 ，n)两点，则 n 的 值为（ ）A ． 2B ． 4C ．2D ．4{答案}B{解析}本题考查了二次函数的 对称性;中点坐标公式;求对称轴的 公式及二次函数解析式，由题意知抛物线过（-2，n ）和（4，n ）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-ab 2=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的 解析式为y=-x 2+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的 图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的 性质} {类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}9．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A ，C 为圆心，大于21AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O.若点O 是AC 的 中点，则CD 的 长为（ ）A.22B.4C.3D.10{答案}A{解析}本题考查了尺规作图 ，矩形的 判定及性质，等腰三角形的 性质，垂直平分线的 性质 ，勾股定理，如图，过点B 做BM ⊥AD 于点M,连结AE 、CE ， ∵AD ∥BC ，∴∠BCD+∠D=180°，又∵∠D=90°∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°， ∴四边形BCDM 为矩形 ，∴MD=BC=3 ， BM=CD ，由作图可知AE=CE 又∵O 是AC 的 中点， ∴EO ⊥AC ，∴EB 是AC 的 垂直平分线，∴AB=BC=3. 在Rt △ABM 中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1， ∴BM=22132222=-=-AM AB ，∴CD= 22.故选A.{分值}3MFEOBDAC{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:矩形的 性质} {考点:矩形的 判定} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}10．（2019河南，T10）如图，在△OAB 中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB 与正方形ABCD 组成的 图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的 坐标为（ ）A.（10,3）B.（-3,10）C.（10，-3）D.（3，-10）【答案】D【解析】由A 、B性质可知AD=AB ，延长DA 交x 轴于点M,ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO Rt △DMO 的 旋转得到。

70次旋转后的 坐标。

AB=6,AB ∥x 轴，∵四边形 ABCD 为正方形，∴AD=AB=6,∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°.连结OD,Rt △DMO 中，MO=3 DM=10 则 点D 的 坐标为（-3,10），将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O每次顺时针旋转90°，当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， 点D 的 坐标为（10,3）；当图形绕点O顺时针第二次旋转90°后， 点D 的 坐标为（3,-10）；当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， 点D的 坐标为（-10,-3）；当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， 点D 的 坐标为（-3,10）；当图形绕点O 顺时针第五次旋转90°后， 点D 的 坐标为（10,3），……，每四次为一个循环.∵70÷4=17…2， ∴旋转70次后，点D 的 坐标为（3，-10）.故选D{分值}3{章节:[1-23-1]图形的 旋转} {考点:正方形的 性质} {考点:坐标系内的 旋转} {考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}x{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}11．（2019河南卷，T11）计算：4-2-1= .{答案}23{解析}本题考查了二次根式、负整数指数幂，根据算术平方根的 求法可以得到4=2,2-1=21，可知2-21=23． {分值}3{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:负指数参与的 运算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}12．（2019河南,T12）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+--≤4712＞x x的 解集是 .{答案} x≤-2{解析}根据不等式组的 解法，分别求出两个不等式的 解集，在数轴上找出他们的 公共部分，或者是根据“同大取大，同小取小，大大小小解不了，大小小大中间找”也能求出他们的 解集.解不等式2x≤-1得x≤-2，解不等式-x+7＞4得x ＜3，∴不等式组的 解集为x ≤-2. {分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}13．（2019河南，T13）现有两个不透明的 袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的 两个球颜色相同的 概率是 . {答案}94 {解析}在第一个袋子里随机摸出一个球，第一个袋子里的 白球和第二个袋子里的 黄球颜色不同，只有红色的 颜色相同.第一个袋子摸出红球的 概率为32，第二个袋子里摸出红球概率为32，所以摸出颜色相同的 球的 概率为32×32=94. {分值}3{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题目}14．（2019河南，T14）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，半径OC 交弦AB 于点D,且OC⊥OA.OA= 面积为 .{答案{解析}本题考查了与圆有关的 计算，（圆内半径相等），等腰三角形的 性质（等边对等角），解直角三角形，特殊角三角函数，扇形的 面积，不规则图形的 转化. 解法1：∵在扇形AOB 中，∠AOB=120°，∴OA=OB，所以∠BAO=∠ABO=12（180°-120°）÷2=30°， ∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，AO=∠BAO=30°，∴OD=AOtan∠BAO=3=2，又∵在△BOC中，∠BOC=∠AOB -∠AOD=120°-90°=30°.如图，过点B 作BE⊥OC于点E∴BE=OBsin30°=×12∴=S AOD BCO ODB S S S +-影部分△扇形△=2n 23602OD AO AO OD BEπ+- ()2302322323360π+-π =π-π.解法2：∵在扇形AOB 中，∠AOB=120°，∴OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=12（180°-120°）÷2=30°，∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，OD=AOtan∠BAO=×3=2，∴AOD S =12×2×如图，取AD 的 中点E ，利用直角三角形斜边上的 中线，可得①1=2EDO ADO S S≅△BDO，∴=AEO BDO S S ∴=EDOBCO S S S+影部分扇形+2n 360AO π+π.{分值}3{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的 面积} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}15．（2019河南,T15）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，点E 在边BC 上，且BE=35a .连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的 对应点B ′落在矩形ABCD 的 边上，则a 的 值为 .{答案}35或35{解析}本题考查了矩形的 性质，折叠的 性质，正方形的 判定，一线三直角的 相似，勾股定理的 应用.先确定折叠时点B ′的 位置在哪一条边上，画出图形，再根据图形的 特征利用折叠的 特征及相似等知识解决.由折叠可得，AB=A B ′, ∠B′=∠B=900，BE= B ′E.由题意可得，点B ′的 位置有以下两种情况：①当点B ′落在矩形的 边AD 上时，则四边形ABEB ′为正方形，所以BE=AB=1，则53a=1，所以a=35；②当点B ′落在边CD 上时，则由已知可得BE=E B ′=53a ，EC=52a ，所以'EB EC =32. 由一线三直角易得，△ECB′∽△B′DA ，所以''DB AB ='EB EC =32，则DB ′=32.在Rt△AD B′中，则有勾股定理可得AD=35,则a=35.综上所述，a 的 值为35或35.{分值}315题图{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{考点:全等三角形的性质}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）{题目}16．（2019河南，T16）先化简，再求值：，其中.{解析}本题考查了分式的混合运算，利用分式的加减法则计算，然后根据除法法则将原式转化为乘式，约分后得到最简结果，最后把代入化简后的式子即可．{答案}解：原式===当时，原式={分值}8{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:分式的混合运算}{题目}17．（2019河南,T17）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点C.⑴求证：△ADF ≌ △BDG ；⑵填空：①若AB = 4，且点E是BD的中点，则DF的长为；A的中点H，当∠EAB的度数为时，四边形OBEH为菱形.②取E{解析}⑴首先根据在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，再根据直径所对的圆周角是直角，得到△ABD是等腰直角三角形，从而DA = DB，又因为∠CAE与∠DBG对着同一条弧 DE，得到∠CAE=∠DBG，根据ASA可以判定△ADF≌ △BDG.⑵①DF=4 - 22；②30°.①由△ADF ≌ △BDG得到DG = DF.由点E是BD的中点，得到∠CAE=∠BAE.根据AB为直径，得∠AEB=∠AEG=90°，又AE=AE，得到△AEG ≌ △AEB，从而得到AG=AB=4.再根据△ABD是等腰直角三角形，可得AD=22，所以 DF=DG=AG-AD=4 - 22.②连接OE，因为四边形OBEH为菱形，所以 BE=BO.因为OB，OE都是半径，所以 OB= OE，推得△OBE是等边三角形，所以∠ABE=60°.又AB是直径，所以∠AEB=90°，根据三角形内角和定理，可得∠EAB=30°.{答案}解：∵ 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，∴ ∠CAB＝45°.∵ AB为直径，∴ ∠ADB＝∠BDG＝90°.∴ △ABD是等腰直角三角形，∴ DA = DB.∵ ∠CAE与∠DBG对着同一条弧，∴ ∠CAE=∠DBG，∴ △ADF ≌ △BDG.⑵∵△ADF ≌ △BDG，∴DG = DF.∵点E是BD的中点，∴∠CAE=∠BAE.∵ AB为直径，∴ ∠AEB=∠AEG=90°.又AE=AE，∴ △AEG ≌ △AEB，∴ AG=AB=4 .∵ △ABD是等腰直角三角形，∴AD=22，成绩/分频数100908070605015151111101088660∴ DF=DG=AG -AD=4 - 22.②如图，连接OE ，∵ 四边形OBEH 为菱形， ∴ BE=BO. ∵ OB= OE ，∴△OBE是等边三角形， ∴ ∠ABE=60°. ∵ AB是直径， ∴ ∠AEB=90°， ∴ ∠EAB=30°.{分值}9{章节:[1-24-1-1]圆} {难度:4-较高难度} {类别:常考题}{考点:圆的 其它综合题}{题目}18．（2019河南，T18）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的 掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：a.七年级成绩频数分布直方图：b.七年级成绩在70≤x ＜80这一组的 是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的 有 人； （2）表中m 的 值为 ；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的 成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的 排名谁更靠前，并说明理由；（4）该七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.{解析}（1）先确定七年级成绩频数分布直方图，成绩在80≤x＜90，,90≤x＜100，分别有15人，8人，相加即可求出;（2）根据七年级成绩中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数在70≤x＜80这一组，数据即确定m的值;(3)根据两个年级的平均分，中位数，解答可得;(4)用总人数乘以样本中超过76.9分的人数所占比例可得.{答案}解：（1）∵七年级成绩频数分布直方图80≤x＜90,90≤x＜100的人数为15人和8人，∴七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人.（2）中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数这一组中的 77和78，所以中位数m=77782+=77.5；（3）∵七年级学生的成绩超过平均分76.9分且高于中位数77.5分，位于中上等，而八年级学生的成绩低于平均分且低于中位数，位于中下等.∴七年级学生的排名更靠前.（4）估计七年级400人成绩超过平均分76.9分的人数为：400×515850++=224人答：七年级成绩超过平均数76.9分的人数是224人.{分值}9{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{考点:中位数}{考点:用样本估计总体}{题目}19．（2019河南，T19）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m. 1.73){解析}本题考查了解直角三角形的 应用，解题的 关键是根据题意构造直角三角形.先在Rt△ACE中，利用三角函数求出AC ，然后求出BC 的 长，最后在Rt△BCD中，利用三角函数求出CD 的 长，从而可求DE 的 长.{答案}解：由题意可得：CE=55,AB=21，∠A=34°，∠CBD=60°. 在Rt△ACE中：∵tanA=CE AC =55AC ,即tan34°=55AC≈0.67,∴AC≈82.1. ∴BC=AC -AB≈82.1-21=61.1， 在Rt△BCD中：∵tan∠CBD=CD BC =61.1CD ，即tan60°=61.1CD≈1.73， ∴CD≈61.1×1.73≈105.7，∴DE=CD -CE≈105.7-55≈51.答：炎帝塑像DE 的 高度约为51m. {分值}9{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:4-较高难度} {类别:常考题}{考点:解直角三角形的 应用－仰角}{题目}20．（2019河南，T20）学校计划为“我和我的 祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元. （1）求A 、B 两种奖品的 单价；（2）学校准备购买A 、B 两种奖品共30个，且A 奖品的 数量不少于B 奖品数量的13，请设计出最省钱的 购买方案，并说明理由.{解析}（1）分别根据“购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元”、“ 购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元”列出方程组并求解即可得出A 、B 两种奖品的 单价；（2）设学校准备购买A 种奖品m 个，则B 种奖品购买()30m -个，由“A 奖品的 数量不少于B奖品数量的13”可列出不等式，求得m 的 取值范围；设学校购买A 、B 两种奖品所需的 钱数为w 元，写w 出m 与之间的 函数关系式，由函数的 增减性即可求出最省钱的 购买方案.{答案}解：（1）设A 、B 两种奖品的 单价分别为x 元、y 元，依题意，得：3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：3015x y =⎧⎨=⎩. 答：A 、B 两种奖品的 单价分别为30元、15元.（2）设学校准备购买A 种奖品m 个，则B 种奖品购买()30m -个，则：()1303m m ≥-，解得7.5m ≥； 设学校购买A 、B 两种奖品所需的 钱数为w 元，则：()30153015450w m m m =+-=+，因150m =>，所以w 随m 的 增大而增大，故当m =8时，购买A 、B 两种奖品所需的 钱数最少，此时购买A 种奖品8个，B 种奖品22个. {分值}9{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {类别:易错题}{考点:一元一次不等式的 整数解} {考点:一元一次不等式的 应用}{题目}21. (2019河南，T21)模具厂计算生产面积为4，周长为m 的 矩形模具.对于m 的 取值范围，小亮已经能用“代数”的 方法解决，现在他又尝试从“图形”的 角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的 长分别为x ，y ，由矩形的 面积为4，得4xy =，即4y x=；由周长为m ，得()2x y m +=，即2my x =-+.满足要求的 （x ，y ）应是两个函数图象在第象 限内交点的 坐标.（2）画出函数图象 函数()40y x x =>的 图象如图所示，而函数2my x =-+的 图象可由直线y x =-平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y x =-.（3）平移直线y x =-，观察函数图象: ①当直线平移到与函数()40y x x=>的 图象有唯一交点（2，2）时，周长m 的 值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的 周长m 的 取值范围.（4）得出结论若能生产出面积为4的 矩形模具，则周长m 的 取值范围为 .{解析}（1）根据实际意义，矩形的 长和宽不可能是0或负数，所以满足要求的 （x ，y ）应是两个函数图象在第一象限内交点的 坐标； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）①交点（2，2）在函数2my x =-+的 图象上，代入可求得周长m 的 值； ②观察图象，不难发现，在直线的 平移过程中，除了两个函数图象有唯一交点（此时8m =）外，交点的 个数还有其它两种情况：一是无交点，此时08m <<；二是有两个不同的 交点，此时8m >；（4）观察图象，当两函数图象有交点时，能生产出面积为4的 矩形模具，其周长周长m 的 取值范围为8m ≥.{答案}解：（1）一； （2）如图所示：（3）①交点（2，2）在函数2m y x =-+的 图象上，所以222m=-+，解得8m =，故填8； ②直线在第一象限内平移的 过程中，其与函数的 图象交点的 个数还有两种情况：一是无交{分值}9{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究}{考点:反比例函数与一次函数的 综合}{题目}22．（2019年河南）在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的 任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP. (1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BDCP的 值是 .直线BD 与直线CP 相交所成的 较小角的 度数是: . (2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的 值及直线BD 与直线CP 相交所成的 较小角的 度数，并就图2的 情形说明理由. (3)解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的 中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的 值.{解析}本题考查了等腰直角三角形的 性质、全等三角形的 判定与性质、相似三角形的 判定与性质、等腰三角形的 判定、平行线分线段成比例定理．第（1）问中，利用“SAS ”可以证得△ACP ≌△ABD.可得BD=CP,BD 与CP 的 夹角等于∠BAC. 第（2）问中,模仿（1）中的 思路，可以利用两边成比例且夹角相等来证明△ACP ∽△ABD ，BD 与CP 的 夹角仍然等于∠BAC. 第（3）问中,画出对应的 图形后，找出有关的 角度即可解决问题.(1) {答案}解：1；60° （证得△ACP ≌△ABD 即可） (2)2BD CP=,直线BD 与CP 相交所成的 角度是45°, 理由如下：如图1，假设BD 与CP 相交于点M ，AC 与BD 交于点N ， 由题意可知，△PAD 是等腰直角三角形 ∴∠DAP ＝45，2PA AD=,∵CA ＝CB ，∠ACB ＝α＝90°， ∴△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠CAB ＝45°，2AC AB=，∵∠CAP ＝∠PAD+∠CAD ＝45°+∠CAD ，备用图图2图1A∠BAD ＝∠BAC+∠CAD ＝45°+∠CAD ， ∴∠PAC ＝∠DAB ，又∵2PA AC ADAB==，∴△APC ∽△ADB，∴2BD AC CPAB==，∠PCA=∠ABD.∵∠ANB=∠DNC ，∴∠CMN=∠CAB=45° 即直线BD 与CP 相交所成的 角度为45°. 综上所述：2BD CP=,直线BD 与CP 相交所成的 角度是45°. （3）2解法提示：如图2，设CP=a ，由（2）则可得.设CD 与AB 相交于点Q ，由平行线分线段成比例则可得PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°，则，易得2AD a ==+所以2AD CP=+如图3，可设AP=DP=b ，则.由EF ∥AB ，∠PEA=∠CAB=45°，可证∠ECD=∠EAD=22.5°，易得，+b,所以2AD CP=.综上所述：2AD CP=.{分值}10{章节:[1-27-1-1]相似三角形的 判定} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究}图 1B图 2图3{考点:相似三角形的 判定（两边夹角）}{题目}23.（2019河南，T23）如图，抛物线212y ax x c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线122yx 经过点A ，点C. (1)求抛物线的 解析式；(2)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的 垂线，交直线AC 于点M,设点P 的 横坐标为m. ①当△PCM是直角三角形时，求点P 的 坐标；②作点B 关于点C 的 对称点B ′,则平面内存在直线l ,使点M,B,B ′到该直线的 距离都相等.当点P 在y 轴右侧的 抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线l :y kx b 的 解析式.(k,b 可用含m 的 式子表示).{解析}（1）根据一次函数求出点A 和点C 的 坐标，代入抛物线解析式联立成方程组求解即可解决；（2）①是直角三角形存在性问题，因为∠PMC 与∠OCA 这个角确定不变，所以分∠MPC=90°和∠PCM=90°两种情况讨论即可，再结合对称性特点或构造一线三直角相似建立方程即可求出点P 的 坐标；②三个不同的 点到直线l 的 距离都相等，所以直线l 一定过任意两点的 中点，由于点C 为BB ′的 中点，所以只需确定MB 的 中点坐标，两个点确定一条直线，由两个中点坐标则直线l 的 解析式就可确定.{答案}（1）∵122y x 经过点A ，点C ，∴A （-4,0），C （0,-2），∵212y ax x c 过点A 和点C ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯+=0)4(21162c a c ，∴解得⎪⎩⎪⎨⎧-==241c a ， ∴抛物线的 解析式为：211242yx x ； （2）①∵PM⊥x 轴， ∴∠PMC=∠OCA,∵ △PCM为直角三角形 , ∴只有两种情况：∠MPC=90°或∠PCM=90°， 当∠MPC=90°时，∴PM⊥PC，∴PC x 轴 ，∴点P 和点C 关于211242y xx 的 对称轴对称，∵211242yx x 的 对称轴为1x ，C（0,-2），∴P （-2,-2）. 当∠PCM=90°时，过点C 作AC 的 垂线交抛物线与点P ，即为所求，如图： 第一种方法（几何法）过点P 作PE⊥y 轴与点E ，过点M 作MF⊥y 轴与点F.∵P 21142（m,m +m-2），∴M 12（m,-m-2），E 21142（0,m +m-2），F 12（0,-m-2），C （0,-2）， ∴PE=m , EC=2211114242m m m m +-2-(-2)=, CF=1122-2-(-m-2)=m , MF=m ，∵△PEC∽△CFM， ∴PE EC CF FM ，即2114212m mm m m ，∴11242m ，∴6m ，∴P （6,10）， 第二种方法（代数法） CP⊥AC，直线AC 的 解析式为122y x ，∴直线CP 的 解析式为22y x ，∴由⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=22141222x x y x y 得21122242x x ， ∴120,6x x ∴P（6,10）. （3）4224my x m .提示：由（1）可得点B （0,2），∵ C （0,-2） 又∵点B 和点B ′关于点C （0,-2）对称∴由中点坐标公式可得B ′（-2，-4）， ∵P 21142（m,m +m-2）(m>0),∴M 12（m,-m-2）. ∵点B 与点B ′到直线l 的 距离相等 ∴直线l 必过BB ′的 中点C （0,-2）∴k ≠0，b=-2,连MB ，取MB 的 中点Q,∵M 12（m,-m-2），B （0,2） ∴Q m+2124（,-m-1）， ∵ 点B 与点M 到直线l 的 距离相等， ∴直线l 必过BM 的 中点Q m+2124（,-m-1）,∴ 14122--=++⨯m b m k ,⎪⎩⎪⎨⎧--=++⨯-=≠141222b 0m b m k k ，,解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=4242m m k b ， ∴直线l 的 解析式为4224myx m .{分值}11{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的 图象和性质} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的 性质} {考点:二次函数中讨论直角三角形}。