Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。

本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。

I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。

质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。

在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。

根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0v vÒCVCSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。

上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。

由奥高公式得()v vvÒCSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0v CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。

考虑到τ的任意性，故有()0vv t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0vd v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由0=dtm d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅r=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=v。

由奥高公式有v v v ÒCVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=v或0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。

2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有24(,)()r V r t m t π=，即2()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。

例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以速度0V 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21m r V V R ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

通常称这种流动为圆管的入口流。

试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度m V 。

解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：0vv ÒV dS ⋅=⎰⎰界面， 由于管壁无渗透故上式可写为：2002RV R V rdr ππ=⎰，可得02V V m =。

II 动量方程流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ⨯ 其加速度II-1方程的导出1直角坐标系下推导微分形式的动量定理t 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。

受力分析：体力合力=vFd ρτ面力合力vÒn CSp dS =⎰⎰,,,,22,,,,22,,,,,,,,22,,222v v v v v v v v v x x x xy x y yz x z zx x x x y x x p x y z s p x y z s y y p x y z x x p x y z s p x y z s p x y z s x z p x y z s y p x y s p x y z z s s δδδδδδδδδδδδδδδδδδ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++- + ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,,2,,,,22v v v v v v x y yz x y x zz zy p x y z s x z p x y z s p p p p x z x y z s y δδδδδττδδτδδ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-∂∂∂=++- ⎪ ⎪⎝∂⎭∂∂⎭⎝于是有v v v v v y x z p p p dV F dt x y zρδτρδτδτδτδτ∂∂∂=+++∂∂∂， 即v v v v v y x z p p p dV F dt x y zρρ∂∂∂=+++∂∂∂。

2x '分量形式：yx x xx zxx yxy yy zy y yx xx zx z z p dv p p F dt x y z dv p p p F dtx y z p pp dv F dt x y z ρρρρρρ∂⎧∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎩或写成ji ii jp dv F dt x ρρ∂=+∂， 或vv dVF P dtρρ=+∇⋅。

P ⋅∇意义：单位体积流体团所受面力的合力。

2积分形式的动量定理的导出考虑体系τ，该流体团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。

由动量定理有n CV CS d Vd Fd p dS dt τρτρτ=+⎰⎰⎰⎰v v v Ò 利用输运定理可得()v v v v v CV CS d V V V V S dt tτρδτρδτρδ∂=+⋅∂⎰⎰⎰。

于是得到积分形式动量定理：()v v v v v vÒn CVCS CV CS V V V S Fd p dS t ρδτρδρτ∂+⋅=+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。

例题1求流体作用于闸门上的力。

（设渠宽w ）解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的x 方向分量方程。

222121wD V wD V x ρρ+-=方向动量通量[][]121220()()()D D a a a x R w P g D y dy w P g D y dy h D P ρρ=-++--+---⎰⎰方向合外力闸门受合力＝R h D P R a '=--)(1 代入动量方程方程得)(21)(2221121222D D gw R D V D V w -+'-=-ρρ故)()(212211222221D V D V w D D gw R -+-='ρρ 注：求R '时可直接设0=a P 。

注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：()()v vvv d V d d dVV Vdt dtdt dtττττρδτρδτρδτρδτ==+⎰⎰⎰⎰其中()0d d mdt dtρδτδ==，因而得到 v vv CV d dV dV V dt dt dtττρδτρδτρδτ==⎰⎰⎰。

上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。

另外，n CSCSCVp dS n PdS Pd τ=⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰vv乙，综上可得0vv CV dV F P dt ρρδτ⎛⎫--∇⋅= ⎪⎝⎭⎰，再考虑到系统大小形状的任意性可得dVF P dt ρρ=+∇⋅v v 。

尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。

3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程2rot 2V V V V F P t ρρ⎛⎫∂+∇+⨯=+∇⋅ ⎪∂⎝⎭vv v vII-2地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。

但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。

在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。

我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。

地球上运动质点的绝对速度a r e V V V =+v v v ，其中r V v代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度e V r ω=⨯v v v （牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），ωv 为地球自转角速度。

绝对加速度：a r e c w w w w =++v v v v，其中r w v 代表相对加速度，牵连加速度()e d w r r dtωωω=⨯+⨯⨯vv v v v v ，科氏加速度()2c r w V ω=⨯v v v 。

动量方程：1r e c d V F P w w dt ρ'=+∇⋅--vv v v 其中r r r r d V V V V dt t '∂'=+⋅∇∂r vv v ，ii x ∂'∇='∂ 。

因为真实力与参照系无关，故P P ''∇⋅=∇⋅一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为0d dtω=v，于是有 ()12r r r r V V V F P r V t ωωωρ∂'+⋅∇=+∇⋅-⨯⨯-⨯∂vv v v v v v v v 。

III.能量方程III －1能量方程的推导：t 时刻流体团τ所占控制体CV ，其边界CS ，能量平衡关系式：t 时刻()1系统能量增加率()()()234=++外力的功率单位时间内通过边界流入的热量单位时间内从外界吸收的其他能量其中2(1)()2d V U dt τρδτ=+⎰，U 代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）(2)n CSCVF V p V s ρδτδ=⋅+⋅⎰⎰⎰v v vv Ò=)3(CSf s δ-⋅⎰⎰v v ÒCSk T s δ=∇⋅⎰⎰vÒ，f v 为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体f k T =-∇v)4(设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q ，则(4)CVqd ρτ=⎰故能量方程积分形式为：2()2n CV CS CSCVd V U F V p V s k T s q dt τρδτρδτδδρδτ+=⋅+⋅+∇⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v vv v乙因为()2222222222d V d V U U dt dt d d V V d V U U U dt dt dt τττττρδτρδτρδτρδτρδτ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰＝＋＝()()()()n CSCSCSCSCSp V s n P V s n P V s P V s P V δδδδδτ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∇⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰vv v v v v v vv乙乙?＝()CSCSk T s k T δδτ∇⋅=∇⋅∇⎰⎰⎰⎰v乙所以得到能量方程微分形式：2()()2d V U F V P V k T q dt ρρρ⎛⎫+=⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇+ ⎪⎝⎭v v v ， 其中()()ji ji i ji i i ji i ji ji ji ji j j j jp p V P V p V V p V p s p a x x x x ∂∂∂∂∇⋅⋅==+=++∂∂∂∂v 。