g 2 g
u S
压强沿流线法向的变化
ar

fr

1

p r
ar
u2 r
fr
g cos
g
z r
u 2 (gz p )
r
r

r
g
u S
当曲率半径很大时, 上式左边可忽略不计, 故沿流线的
法向有
z
p
g
C1
缓变流与急变流概念
总流的伯努利方程
分叉情况:
H 01 H 02 hw12 H 01 H 03 hw13 Q1 Q2 Q3
例 已知: d=200mm H=4.5m Q=100 (l/s)
求: 水流的总水头损失
解:
1
1
选1-1与2-2两个断 面间的流动
hw

z1

p1
g
1V12
2g
(z2

p2
解: 1-1与2-2两截 面间流动, 由伯努 利方程有
1
8m
1.5m 1
0
A
0
c 3.5m
2 2B
V2
H 01

z2

p2
g
V22 2g
8m
列1-1与c断面间能量方程有
V22 2m Vc2
2g
2g
H 01

zc

pc
g
cVc2
2g
pc
g

H 01 zc
Vc2 2g
通过过流断面将元流积分
(A)
(V12 2g

p1
g

z1)gVdA
(V22 2g

p2
g

z2 )gVdA
hw' gdQ
(z
A

p
g
) gV dA
考虑恒定渐变流 (缓变流)
z pdA-(p+dP)dA+gdAdlcos=0
dp+g dz=0
z+p/(g )=C
0
x

A
称为动能修正系数, 一般为1
(C )
hw' gVdA hw gQ
A
由 则有
z1
p1
g
1V12
2g

z2

p2
g
2V22
2g
hw
H0

z

p
g

V 2
2g
H 01 H 02 hw
总流能量方程的应用
应用条件:
(1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)所选过流断面流动均匀或渐变流 (5)无其它能量的输入或输出 (6)总流量沿程不变
x y z


(5)沿流线 有v=u(dy/dx) w=u(dz/dx)
du dx du udt udu d u2
dt dt
2
dv dy d v2
dt
2
dw dz d w2
dt
2
u u u u
1 p
t
u
x
v
y
w z

fx


x
(a)
v u v v v w v
若存在能量的输入或输出 则有 H H01 H02 hw
其中H表示流体机械输入给单位重量流体的机械能
伯努利方程应用
一.小孔定常出流 二.毕托管测速原理 三.文丘里流量计
例 已知无穷远 V=1.2m/s , p=0
求:驻点处的压强ps 解:
V
p
s
V2 2g

p

z
Vs2 2g
t s
2
由0-0到1-1点积分有
p0 0
h 1
x
1
l
s1 u
s0 t
ds gz1
p1

u2 2

gz0

p0

u02 2
积分得
du
u2
l gh
dt
2
u du
0 gh u 2
1 l
t
dt
0
2
u 2 gh tanh(
t 0 u0 2 gh
t) 2l
g

2V22
2g
)
H
2 2
将H=z1-z2和p1=p2=0 及 V1=0 2=1.0 则有
hw

H
Байду номын сангаасV22 2g

H

Q2 2 gA2
hw

4.5

2

0.12 9.8 0.0312
4.5 0.53 3.97(m)
例 已知: zc=9.5m zB=6m 不计损失
求: c 点压能和动能
(z

p
g
) gVdA

g (z

p
g
)Q
dA p
dz dl

G P+dP
(B)
V 2 gVdA gV 3 (V )3 dA
A 2g
2g A V

gV
2g
2
VA A
V ( AV
)3 dA (gQ) V 2
2g
1

A
V ( AV
)
3
dA

令
1 (V )3 dA AA V
t
x y
z

fy

1

p y
(b)
w u w v w w w
t
x y
z

fz

1

p z
( c)
(a)dx+(b)dy+( c)dz
积分得
u2 v2 w2
p
d(
) dW d( )
2

V2 p d( W) 0
2
V2 2

p

dds 2r cos
gdAdscos
0
cos dz
ds
cos dr
ds
d ( gz p Vr2 2r 2 ) 0
ds
2
2
叶轮机械内相对运 动的伯努利方程
对于同一流线上任意两点, 可写为
dvr
dt p p ds
s
s


dA
p
z1

p1
g
理想
定常 重力场 不可压
沿流线S伯努利积分
as

fs
1

p s
as

u t
u
u s
u u s

fs

1

p s
r
g
fs

g cos

g
z s
u u g z ( p )
s
s s

p u2
(gz ) 0
s
2
z p u2 C
8 9.5 2 3.5m
叶轮机械内相对运动的伯努利方程
叶轮
S
微元体
叶片

R2
R1 r
0
叶轮
S
微元体
叶片

R2
R1 r
dvr
dt p p ds
s
s


dA
p

0
S方向的力平衡方程为(座标固结叶轮上)
o
pd ( p
p s
ds)d ddsVr
Vr s
U形管中液体的振荡

x
0
l 0
u t
ds

gz1

p1


u12 2

gz0

p0

u02 2
du l gx(sin sin )
dt
u dx dt
x
1


d2x dt 2


2
x

0
x x0 sin(t)
g(sin sin )
l
作业 : 3-11 3-15
预习 第三章 理想流体动力学基 本方程
§3-11动量方程和动量矩方 程及其应用
Vr21 2g
2 (r22 r12 )
2g

z2

p2
g
Vr22 2g

H1

2 (R22
2g
R12 )

H2
o
可对流体机械 (水轮机, 汽轮机, 水泵, 风机) 的解释
非定常流动的伯努利方程
0
一. 容器旁管非定常出流
u (gz p u 2 ) 0
第三章 理想流体动力学基本方程
• §3-6 压强沿流线法向的变化 • §3-7 总流的伯努利方程 • §3-8 伯努利方程应用举例 • §3-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程 • §3-10 非定常流动的伯努利方程
伯努利方程
(1)理想 (2)恒定
u u u u
1 p
t
u x
v y
w z

fx


x
v u v v v t x y
w v z

fy