至少有一行不全为零
矩阵 至少有一元素不为零
023
0 0 0 0 0 0
0 0 0
b = (0, 0, 0, 0, 0)
例题
矩阵
3 阶复方阵
矩阵 三维行向量
矩阵 四维列向量
§1.1.4 同型矩阵和矩阵的相等
定义 若矩阵
与 有相同的行数，且列数也相同，则 为同型矩阵.
求A B .
k a11 a11 k a a 22 22 , , 则 Ak 结论 若 A k ann ann
其中 k 为正整数.
矩阵多项式 设 为数域，并有多项式
其中
设
为
上一个
阶方阵，那么
以上结果表明：一般而言
AB 0 A 0 or B 0
矩阵乘法的运算规律
设 为数域
的数域
中的数，
是使下列各式都有意义
上的矩阵，则
1. 乘法结合律 2. 对加法的分配律 3. 数乘 4. 5. 在数的运算中，数 乘任何数 后仍为 ，这与 矩阵的乘法乘法规律 5. 非常类似.
可交换矩阵 定义 若矩阵 满足 ，则称 与 可交换.
为 一般有
阶方阵，故
矩阵乘法不满足交换律
例题 设
a11 a 22 , A diag (a11 , a22 , , ann ) ann
B (bij )nt , C (cij )sn ,
求 A B ,C A .
思考 在以上例题中，若A = E n , 会怎么样呢？
矩阵多项式：
f ( x ) ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0
主对角元素.
副对角线
主对角线
提醒 一阶方阵就是一个数！此时不加括号！
特殊方阵：上三角阵，下三角阵
下三角阵 主对角线上方元素都为 0 的方阵
上三角阵 主对角线下方元素都为 0 的方阵
下三角阵
上三角阵
三角阵 上三角阵和下三角阵的统称.
特殊三角阵：对角阵 数量阵
单位阵
对角阵 非主对角元素都为0的方阵称为对角阵.
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求。
a b 解：设所求矩阵为 X , c d 由 AX XA,
得
a c b d a a b c d c cd
a b c 0, a d X 0 a , 其中a，b为实数
a11 0 0 a 22 diag (a11 , a22 ,..., ann ) 0 0 0 0
主对角元素相同的 对角阵称为数量阵
0 0 0
0 0 0 ann
主对角元素都为1的 对角阵称为单位阵
阶数量阵
阶单位阵
特殊矩阵之二：向量 行向量 行数为1的矩阵！
各工厂的总收入及总利润
总收入
总利润
单价 单位利润
总收入 总利润
求第 i 个工厂的总收入 c i 1 和利润c i 2 i = 1, 2, 3
则矩阵
的元素之间有如下关系
也即对任意的
，有
即矩阵
的
元素为
的第 行与矩阵
的第 列
对应元素的乘积之和.
矩阵的乘积 我们称引例中的矩阵 定义 设 与 的第 为矩阵 与 的乘积. 表 的第 列对应元素的乘积之和，即 行
有意义，它仍为
上一个
阶方阵，记为
，即
称为
的矩阵多项式. 的方阵多项式不是
提醒 矩阵
例题
1 1 2 , f ( A) ? f ( x) 3 x 2 6 x 2, A 0 2 1 1 0 1 1 1 2 1 1 2 0 2 1 A2 0 2 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 1 4 1 0 1 1
称
为 与 的乘积，记作
.
由上面的引例可见，矩阵乘法的定义是有着明显的实
际背景的，从而如上定义的矩阵的乘法是有意义的.
例题 设
计算
解答
1 0 (1) (1) 0 1 = 1 2 0 1 (1) (1) 1 = - 2 =1 1 0 0 (1) 11
矩 阵
向量 与线性 方程组
线性 代数
二 次 型
特征值 与特征 向量
第一章 矩阵及其运算
§1.1 矩阵的定义及运算
四川大学
§1.1.1 数域
引例 求方程
提醒 显然，所给方程 在有理数范围 在实数范围 在复数范围 内无解； 内有两解： 内有四解:
的解.
提醒 对给定方程而言，其解的情况与取值范围有关.
数域的定义及常见数域 定义 设复数集的子集 包含数0和1，如果对 中的
任意两个数，它们的和差积商（除数不为零） 仍在 结论 整数集 中，则称 为一个数域.
不是数域（关于商运算不封闭）；
有理数集 ，实数集 ，复数集 都是数域， 分别称为有理数域，实数域，复数域. 思考 数集 是数域吗？
§1.1.2 矩阵的背景
一. 二维表格
工厂＼产品 I II III IV
1
2 3
13
11 12
34
38 32
54
61 47
67
59 74
数据的位置和值 长方形数表
§1.1.2 矩阵的背景
二. 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
显然，若 与
可交换，
与
必为同阶方阵.
1 0 例题 设 A ，求所有与 可交换的矩阵. 1 0
解答 设矩阵 与 可交换，则 必为 阶方阵，故设
a b X . c d
与 可交换
1 0 a b a b 1 0 1 0 1 0 c d c d
列向量 列数为1的矩阵！
向 量 行向量和列向量统称为向量！
向量的表示 常用小写的希腊字母 , , 等表示！
(a1 , a2 ,, an )
b1 b 2 bn
向量的维数及分量！
特殊矩阵之三：零矩阵 零矩阵 元素全为零的矩阵！ 零矩阵可记作 矩阵 矩阵 或 .
参考书和应用软件
•《高等代数教程》 王萼芳 清华大学出版社
•《线性代数学习指导》 杨志和等 四川大学出版社 •《Introduction to Linear Algebra》 Johnson, Riess, Arnold • Softwares: Matlab, Maple… 机械工业出版社
行列式
例题 设 解答 由矩阵乘法有
计算
其中 矩阵.
为
元素为1，
其中元素均为零的
第 行
第 列
矩阵乘法运算与数乘法运算的不同 例题 设 计算 提示
矩阵乘法不满足消去律
AB AC且 A 0 BC
1 1 1 1 0 0 BA 0 1 1 1 1 0 0
解答
f ( A) 3A2 பைடு நூலகம் 6 A 2 En
1 3 1 1 1 2 1 0 0 6* 0 2 1 2 0 1 0 3* 1 4 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1
§1.1.3 矩阵的定义及表示 定义 数域 中 个数 上的
排成的 行 列的长方形数表，称为数域 分别为矩阵的行数和列数. sn 表示 矩阵常用大写字母如 ，或 矩阵，其中
，即
方括号或圆括号 表示，称 行第 为矩阵 列元素. 的第
特殊矩阵之一：方阵 方阵 若矩阵 则称 为 的行数和列数相等，即 阶方阵，此时称 ， 为
欢迎新同学
线性代数
线性代数（理工）
四川大学 数学学院
张慎语 周厚隆 编 沈晓静 讲 （email: shenxj@）
重要工具
如果不熟悉线性代数的概念，如线 性性质，向量，线性空间，矩阵等 等，要去学习自然科学，现在看来 就和文盲差不多，甚至学习社会科 学也是如此。 L．戈丁 《数学概观》
a11 a12 a1n b1
数据的位置和值
长方形数表
a21 a22 a2 n b2 an1 an 2 ann bn
§1.1.2 矩阵的背景
三. 图的邻接关系
2
1 5
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 1 1 0 1
3
4 长方形数表
其中 为任意常数.
§1.1.4 矩阵的幂运算 对于 阶方阵 而言，自乘 是有意义的，由此
引入方阵乘幂的概念，规定
个
矩阵乘幂指数律
提醒 一般而言，
思考 何时有
对角矩阵的幂
a11 b11 a b 22 22 , B , 例题 设 A ann bnn
称矩阵 与
定义 设有同型矩阵 相等 例题 设 若
aij bij i 1, 2,, s, j 1, 2,, n
3x 4 y 2w x 4 2 y 3 A ,B , x yz z 6 8
求
§1.1.5 矩阵的加法运算
定义 设有同型矩阵 A aij 加法
为数，则
§1.1.3 矩阵的乘法运算及性质 矩阵理论得到迅速的发展和应用，最重要的原因之 一就是对矩阵赋予了乘法运算. 引例 某地有三厂 矩阵 量，矩阵 阵 生产产品 表各产品的单价及单位利润，矩