习题六1. 指出下列各微分方程的阶数：(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：2(1)2,5xy y y x '==;解：由25y x =得10y x '=代入方程得故是方程的解.(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=.故是方程的解.2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++代入方程得 2e 0x ≠.故不是方程的解.解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+代入方程得故是方程的解.3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22x xy y C -+=两端对x 求导： 得22x y y x y -'=-代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''=+ (*) 得(1)yy x y '=-. (*)式两端对x 再求导得将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y =5.故C =-25故所求曲线为：2225y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =.故所求曲线为：2e xy x =.5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;解：分离变量,得 d 1d ln y xy y x =积分得 11d ln d ln y x yx =⎰⎰ 得 e cxy =. 解：分离变量，得= 积分得=得通解：.c -=-(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;解：分离变量，得 e e d d 1e 1e y yy x y x =-+积分得ln(e 1)ln(e 1)ln y x c --=+- 得通解为(e 1)(e 1)x y c +-=. (4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;解：分离变量，得 cos cos d d 0sin sin x y x y x y +=积分得 lnsin lnsin ln y x c +=得通解为 sin sin .y x c ⋅=(5)y xy '=;解：分离变量，得 d d y x xy =积分得 211ln 2y x c =+得通解为 2112e(e )x c y c c == (6)210x y '++=;解： 21y x '=--积分得 (21)d y x x =--⎰得通解为2y x x c =--+. 32(7)4230x x y y '+-=;解：分离变量，得 233d (42)d y y x x x =+积分得 342y x x c =++即为通解. (8)e x y y +'=.解：分离变量，得e d e d y x y x -= 积分得 e d e d y x y x -=⎰⎰得通解为： e e y x c --=+.6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量，得2e d e d y x y x = 积分得 21e e 2y x c =+.以0,0x y ==代入上式得12c = 故方程特解为 21e (e 1)2y x =+.π2(2)sin ln ,ex y x y y y ='== .解：分离变量，得 d d ln sin y x y y x =积分得 tan 2ex c y ⋅= 将π,e 2x y ==代入上式得1c =故所求特解为 tan 2exy =.7. 求下列齐次方程的通解：(1)0xy y '-=;解：d d y y x x =+令d d d d y y u u u x x x x =⇒=+ 原方程变为d x x = 两端积分得ln(ln ln u x c =+即通解为：2y cx +=d (2)ln d y y x y x x =; 解：d ln d y y y x x x = 令y u x =， 则d d d d y u u x x x =+ 原方程变为 d d (ln 1)u x u u x =- 积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+即方程通解为 1e cx y x +=解： 2221d d y y x y x y x xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =， 则d d d d yuu x x x =+原方程变为 2d 1d u u u x x u ++=即 d 1d ,d d u xx u u x u x ==积分得 211ln ln 2u x c =+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=;解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭ 令y u x =, 则d d d d y u u x x x =+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++=即 233dd 12u x u u x =-积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx 代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=.d (5)d y x yx x y +=-; 解：1d d 1yy xy x x +=- 令y u x =， 则d d d d y uu x x x =+原方程变为 d 1d 1u u u x x u ++=-分离变量,得 211d d 1uu x u x -=+积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yx x y c c c +==解：d d y y x=即d d x x y y =+令x v y =， 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为即d d v yy =分离变量，得d yy = 积分得ln(ln ln v y c =-. 即y v c += 以yv x =代入上式，得222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即方程通解为 222y cx c =+.8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解： 22d d 3y y xx y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得 2d 2d 3u u u x x u +=-- 分离变量，得 233d d u x u u ux -=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x -=得方程通解为 223y x cy -=以x =0，y =1代入上式得c =1.故所求特解为 223y x y -=.1(2),2x x y y y y x ='=+= .解：设y ux =， 则d d d d y u u x xx =+ 原方程可变为d d x u u x =积分得 21ln ln 2u x c =+.得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：解：设1,1x X y Y =+=+，则原方程化为令 d 25d 24Y u uu u X X X u -=⇒+=+代回并整理得2(43)(23),(y x y x c c --+-==. 解：d 1d 41y x y x y x --=-+-作变量替换，令 1,0x X y Y Y =+=+=原方程化为 1d d 414YYX YX YX X Y X --=-=-++令Y uX =,则得分离变量，得 214d d 14u X u u x +-=+积分得即 22ln ln(14)arctan 2X u u c +++=代回并整理得 222ln[4(1)]arctan .1y y x c x +-+=-(3)()d (334)d 0x y x x y y +++-=;解：作变量替换,v x y =+ 则d d 1d d yvx x =-原方程化为 d 1d 34vvx v -=--代回并整理得 32ln(2).x y x y c +++-=d 1(4)1d y x x y =+-.解：令,u x y =-则d d1d d u yx x =-原方程可化为 d 1d ux u =-分离变量，得 d d u u x =-积分得 2112u x c =-+故原方程通解为 21()2.(2)x y x c c c -=-+=10. 求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为123y y x x x '+=++由通解公式得 解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x x x x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解：22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x x x x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为 2d 12()d 2y y x x x x -=--解：方程可化为2222411x x y y x x '+=++ 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ;解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x =--.2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x --=--+⎰Q以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 12. 求下列伯努利方程的通解：解：令121z y y --==，则有即为原方程通解.411(2)(12)33y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=⇒-=-.即为原方程通解.13. 求下列各微分方程的通解：(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得(2)e x y x '''=;解：积分得 1e d e e x x x y x x x c ''==-+⎰(3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为故 21121(e 1)d e 2x x y c x x c x x c =--=--+⎰.3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=， 则d d p y p y ''=原方程可化为 3d d p pp py =+即 2d (1)0d p p p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 由p =0知y =c ，这是原方程的一个解.当0p ≠时，22d d 1d d 1p p p y y p =+⇒=+ 解：11d ln y x c x x ''==+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+⎰(7)0xy y '''+=;解：令y p '=,则得1d d 00p x p p x p x '+=⇒+=得1c p x =故 112d ln c y x c c x x ==+⎰.3(8)10y y ''-=. 解：令p y '=，则d d p y py ''=.原方程可化为33d 10,d d d p y p p p y y y --==14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： 311(1)10,1,0x x y y y y =='''+===;解：令y p '=，则d d p y p y ''=,原方程可化为 33d 11d d d p y pp p y y y ⋅=-⇒=-由1,1,0x y y p '====知，11c =-，从而有 由1,1x y ==,得21c =m故 222x y x += 或y =. 211(2)1,0,1x x x y xy y y ==''''+===;解：令y p '=，则y p '''=.原方程可化为211p p x x '+= 则 11(ln )y x c x '=+以1,1x y '==代入上式得11c = 则1(ln 1)y x x '=+ 当x =1时，y =0代入得20c =故所求特解为 21ln ln 2y x x =+.2001(3),01x x y y y x =='''===+;解：1arctan y x c '=+ 当0,0x y '==，得10c =以x =0,y =0代入上式得20c =故所求特解为 21arctan ln(1)2y x x x =-+.200(4)1,1,0x x y y y y ==''''=+==;解：令p y '=，则p y '''=.原方程可化为 21p p '=+以0,0x y '==代入上式得1πc k =.以x =0,y =1代入上式得21c =故所求特解为 200(5)e ,0y x x y y y =='''===;解：令y p '=，则d d p y py ''=.原方程可化为 2d e d y p p y =即2d e d y p p y = 积分得 221111e 222y p c =+ 以0,0x y y '===代入上式得11c =-,则p y '==以x =0,y =0代入得2π2c =，故所求特解为πarcsin e 2y x -=+m即πe sin cos 2y x x -⎛⎫==± ⎪⎝⎭. 即ln sec y x =.00(6)1,2x x y y y =='''===. 解：令d ,d p y p y p y '''== 原方程可化为 12d 3d p p y y =以0,2,1x y p y '====代入得10c =故 342y p y '==±由于0y ''=>. 故342y y '=，即 34d 2d yx y= 积分得14242y x c =+ 以x =0,y =1代入得24c =故所求特解为4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 15. 求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-=解得 121,2r r ==-故原方程通解为212e e .x x y c c -=+ (2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r +=解得 1,2r i =± 故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x x x t t -+=;解：特征方程为 2420250r r -+=解得1252r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+= 解得1,22r i =± 故原方程通解为212e (cos sin )x y c x c x =+. (5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++=解得 122r r ==-故原方程通解为 212e ()x y c c x -=+(6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+=解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x x y c c =+.16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+=解得 121,3r r ==通解为 312e e x x y c c =+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故方程所求特解为 34e 2e x x y =+.解：特征方程为 24410r r ++=解得1212r r ==- 通解为 1212()e x y c c x -=+由初始条件得 11221221102c c c c c =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩故方程所求特解为 12(2)e x y x -=+.解：特征方程为 24290r r ++=解得 1,225r i =-±通解为212e (cos5sin 5)x y c x c x -=+ 由初始条件得 112120052153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 故方程所求特解为 23e sin 5x y x -=.00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.解：特征方程为 2250r +=解得1,25r i =± 通解为 12cos5sin 5y c x c x =+由初始条件得 112222551c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 故方程所求特解为 2cos5sin 5y x x =+.17. 求下各微分方程的通解：(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=得相应齐次方程的通解为令特解为*e xy A =,代入原方程得 2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e x y =,故原方程通解为212e e e xx x y c c -=++. 2(2)25521y y x x '''+=--;解：2250r r += 对应齐次方程通解为5212e x y c c -=+ 令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得 比较等式两边系数得 则*321373525y x x x =-+ 故方程所求通解为532212137e 3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭. (3)323e x y y y x -'''++=;解：2320r r ++= 121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x x y c c --=+令*()e x y x Ax B -=+代入原方程得解得 3,32A B ==-则*23e 32x y x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故所求通解为22123e e e 32x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=相应齐次方程的通解为令*e (cos 2sin 2)x y x A x B x =+，代入原方程并整理得 得 1,04A B =-=则 *1e cos 24x y x x =-故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24x x y c x c x x x =+-.(5)2y y y x '''++=;解：2210r r ++=相应齐次方程通解为 12()e x y c c x -=+令*y Ax B =+代入原方程得得 1,2A B ==- 则 *2y x =-故所求通解为 12()e 2x y c c x x -=++- 2(6)44e x y y y '''-+=.解：2440r r -+=对应齐次方程通解为 212()e x y c c x =+令*22e x y Ax =代入原方程得故原方程通解为222121()e e 2x x y c c x x =++.18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===; 解：特征方程为 210r +=得 1,2r i =± 对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得得 10,3A B ==故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x =++.将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x =--+.200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===.解： 21090r r -+=对应齐次方程通解为 912e e x x y c c =+令*2e x y A =,代入原方程求得17A =- 则原方程通解为 29121e e e 7x x xy c c =-++由初始条件可求得1211,22c c == 故所求特解为 9211(e e )e 27x x xy =+-.*19. 求下列欧拉方程的通解：解：作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-= 即 22d 0d y y t -=特征方程为 210r -=故 12121e e t t y c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e t x =，则原方程化为232d 4e d t y y t -= ① 特征方程为 240r -= 故①所对应齐次方程的通解为又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得15A =,*31e 5t y = 故 223223121211e e e .55tt t y c c c x c x x --=++=++。