a−1 ( x) = ( x − x j )( x − x j +1 ) / 2h2 , a0 ( x) = −( x − x j −1 )( x − x j +1 ) / h2
其中
a1 ( x) = ( x − x j −1 )( x − x j ) / 2h2
产生更高阶的方法
对于 j = 1,2,L, N p j 是度小于4的多项式，满足
, , 对于 j =12,L N p j 是度小于2的多项式，满足
p j ( x j −1 ) = u j −1 , p j ( x j ) = u j , p j ( x j +1 ) = u j +1
设置 w j = p 'j ( x j ) 对于固定点 j 内插值 p j 为：
p j ( x) = u j −1a−1 ( x) + u j a0 ( x) + u j +1a1 ( x)
−π
x1
x2
xN
程序（Matlab)
图形
对于无限的等间距网格
对于有限网格
谱配置方法设计规则 让 p是与j无关的单值函数，比如 p( x j ) = u j w j = p '( x j ) 设置 对于周期区域在一个等间距的网格中采用三 角多项式， 角多项式， 非周期区域采用代数多项式。 非周期区域采用代数多项式。
Matlab中的谱方法 中的谱方法
Outline
谱方法的应用领域
有限差分
应用领域
常微分方程和偏微分方程 主要包括：流体力学，量子力学，振动力学，线性 和非线性波，复杂分析等其它领域。
有限差分近似
考虑一些均匀的网格
{x1 , L , x N }
1
其中
x j +1 − x j = h
与之对应的值为
{u
,L , u
N
}
u1 u2 u1 u2 2 1
uN N xN N N
x1 x1 1
x2 x2 2
wj = u (x j )
'
利用二阶有限差分近似方法： u j +1 − u j −1 wj = 2h 考虑具有周期的格点：
u0 = uN
u1 = u N +1
描述这个过程 可以用矩阵表示：
推导过程
附录
多项式插值
三角插值
THE END 谢 谢！
以周期稠密矩阵（ N*N ）为例 N是偶数
图形
summary
程序一和程序二大致上一样，只是矩阵发生 了变化。图二中误差减小的非常快，这种行 为称为谱方法的准确性。 已知在网格中的离散数据，通过全局插值， 然后估计在网格中插值的导数，对于周期问 题，我们一般在等间距格点位置上使用三角 函数多项式插值，相反在非周期非等间距的 格点处使用多项式插值。
p j ( x j ± 2 ) = u j ± 2 , p j ( x j ) = u j , p j ( x j ±1 ) = u j ±1
设置 w j = p 'j ( x j ) 任然假设数据具有周期性，则可以得到矢量矩 阵如下图所示

例子 u(x) = e
在
sin(x)
[−π , π ]
内产生周期序列： 内产生周期序列：