对数的计算以及对数函数的基本性质1.对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log ba ab =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N； 自然对数：ln N ，即log e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象：定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．1 xy O1xyO奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况：log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。
3.反函数的概念（1）设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（2）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题与解析：例题1：将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x（2）51521=-（3）327log 31-= （4）664log -=x解析：（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64 （2）∵51521=-，∴2151log 5-=（3）∵327log 31-=，∴27)31(3=- （4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.例题2：比较下列各组数的大小：（1）log 0.7 1.3和log 0.71.8； （2）log 35和log 64. （3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1)；解析：（1）对数函数y = log 0.7x 在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log 0.71.3＞log 0.71.8.（2）log 35和log 64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解. 因为log 35＞log 33 = 1 = log 66＞log 64，所以log 35＞log 64.（3）把lg n 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n 讨论. 若1＞ln n ＞0，即1＜n ＜10时，y = (lg n )x 在R 上是减函数，所以(lg n )1.7＞(lg n )2； 若lg n ＞1，即n ＞10时，y = (lg n )2在R 上是增函数，所以(lg n )1.7＜(lg n )2. 若ln n = 1，即n = 10时，(ln n )1.7 = (ln n )2.例题3：（1）证明函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数； （2）问：函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？解析：（1）证明：设x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=log 2（x 12+1）－log 2（x 22+1）， ∵0＜x 1＜x 2，∴x 12+1＜x 22+1.又∵y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 2（x 12+1）＜log 2（x 22+1）， 即f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数. （2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程. 例题4：已知函数y =log a （1－a x ）（a ＞0，a ≠1）.（1）求函数的定义域与值域； （2）求函数的单调区间； （3）证明函数图象关于y =x 对称. 解析：（1）1－a x ＞0，即a x ＜1，∴a ＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a ＜1时，定义域为（0，+∞）.令t =1－a x ，则0＜t ＜1，而y =log a （1－a x ）=log a t .∴a ＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a ＜1时，值域为（0，+∞）. （2）∵a ＞1时，t =1－a x 在（－∞，0）上单调递减，y =log a t 关于t 单调递增，∴y =log a （1－a x ）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a ＜1时，t =1－a x 在（0，+∞）上单调递增，而y =log a t 关于t 单调递减， ∴y =log a （1－a x ）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y =log a （1－a x ），∴a y =1－a x .∴a x =1－a y ，x =log a （1－a y ）.∴反函数为y =log a （1－a x ），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y =x 对称. 例题5：函数12log (32)y x =- ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．2[,1]3 D ．2(,1]3解析：11222log (32)0log 1,0321,13x x x -≥=<-≤<≤例题6：已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。
解析：0x ≠且101xx +>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)-； 221111()log log ()11x xf x f x x x x x -+-=-=-+=--+-为奇函数；212()log (1)11f x x x=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数。
例题7：（1）若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
（2）若函数()12log 22++=x ax y 的值域为R ，则a 的范围为__________。
解析：（1）2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，得1a >（2）221ax x ++须取遍所有的正实数，当0a =时，21x +符合条件；当0a ≠时，则0440a a >⎧⎨∆=-≥⎩，得01a <≤，即01a ≤≤例题8：求值：22log 3321272log 2lg(3535)8-⨯+++-=__________。
解析：293(3)lg(3535)18lg1019-⨯-+++-=+= 例题9：函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析：由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝⎛⎭⎫x ＞1或x ＜12在(1，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的底数12＜1，且12＞0，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．答案：A例题10：函数()322log x x f =的图象的大致形状是( )解析：先化简函数解析式，再根据解析式研究函数性质进行判断．由于f (x )＝log 2x＝23log 2|x |，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x >0时，f (x )＝23log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，因此选D. 答案：D 随堂练习：1、设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，则a 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．22、已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14C ．2D ．4 3、已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )4、设f (x )＝11＋2lg x ＋11＋4lg x ＋11＋8lg x ，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝__________.5、设a >0，a ≠1，函数y ＝a 2lg(23)x x -+有最大值，求函数f (x )＝log a (3－2x －x 2)的单调区间．6、函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．7、若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． （1）求f (log 2x )的最小值及相应的x 值；（2）x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)，且log 2f (x )＜f (1)．课后作业： 1、函数y ＝1－lgx ＋2的定义域为( )A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(－2,8]D ．[8，＋∞) 2、若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2xB.12x C ．log 12xD ．2x －23、已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b4、已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 5、定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 28－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－36、函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )7、计算下列各式．（1）lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； （2）lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2.8、若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，求实数a 的取值范围．。