（2）当F=0.123时，可以得到相轨图 如下：
由于相轨图只是定性的表示杜芬系统的状态，
而我们也可以 用李雅普诺夫指数进行定量的 描述，通过matlab工具也可获得此时李雅普 诺夫指数的图像，由于只要存在一个正的李 雅普诺夫指数就可以说明处于混沌状态。 将系统转化成一个三维的系统，通过matlab 编程可以得到此时系统对应的李雅普诺夫指 数如下图像：
（3）从系统的相轨迹的变化分析中可以看出
混沌系统的动力学行为对初始参数是极其敏 感的，因此，可以利用待测周期信号使系统 动力行为从混沌临界状态转变到大尺度周期 状态的相轨迹的变化过程进行弱信号的检测。 这正是利用Duffing系统进行微弱周期信号幅 值检测的理论依据。
（4）系统发生混沌行为时系统对参数的依赖
通过matlab工具编程可以实现杜芬系统的相
轨图的变化。首先将杜芬系统改写成一个二 维系统如下。先考虑系统不加超声导波信号 时的相轨迹图： （1）
（1）调节F的值可以看出相轨图有明显的变
化； 当F=0时，系统初值也选择（0，0)时，系 统处于此时呈现的是一个点，也就是所谓的 不动点。继续调节F使得系统处于周期2，如 下所示。

（3）世界知名的动力气象学家，混沌理论的
创立者之一Lorenz指出混沌具有三个特点 1貌似随机； 2对初始条件敏感的依赖性； 3敏感的依赖于初始条件的内在变化。
二．混沌的基本特征

（1）对初始条件的敏感依赖性 表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动， 则在时间演化过程中该轨道将以指数律发散 的形式偏离原轨道。 典型的现象是蝴蝶效应， 也可用“失之毫厘，谬以千里
杜芬方程是弱信号检测中的常用模型，它所
描述的非线性系统表现出多种非线性特性， 包括振荡，分岔，混沌的复杂状态，
五 杜芬系统数学模型及分析
（1）杜芬系统的方程表达式为：
（2）式中k为阻尼比，
为系统的非线性恢 复力项，等号右边的式子为驱动力项，即在 系统外部施加了强迫项。方程的解完全依赖 于k。F,w，及振子的初始状态。设有待检测 超声导波信号为S（t），且其周期也为w，则 此时系统为：
先将系统改写成一个三维的
由于这是一个三维的系统，所以应该有三个
李雅普诺夫指数，也就是应该有三条曲线， 分别表示三个李雅普诺夫指数。此外，从图 中还可以看出不存在大于0的李雅普诺夫指数， 所以系统的最终状态不是混沌状态，与应用 相轨图得到的结论是一样的。
（2）当加入策动力幅值时的情况
例如取F从0开始增加取到0.66时，c取0.43，
六混沌系统检测弱信号的原理
微弱信号的幅值小,测量时又易受传感器和测
量仪器本身噪声的影响,表现出的总体现象一 般是有用的被测信号被多种强信号所淹没。 所以将弱信号导入混沌系统，利用混沌系统 对初值的敏感性，来检测出微小幅值得存在。 混沌的初值敏感性是指，只要改变混沌方程 中的参数，例如策动力幅值，相轨图或者李 雅普诺夫指数就有很大的变化。加入弱信号， 就相当于改变了策动了的幅值了。
其中，表示时刻最邻近零点间的距离；M为
计算总步数。最大 Lyapunov指数不仅是区别 混沌吸引子的重要指标，也是混沌系统对于 初始值敏感性的定量描述。
对于n维系统的指数谱，若该系统具有混沌吸
引子，则必须同时满足以下条件 （1）至少存在一个正李雅普诺夫指数 （2）至少存在某一指数为0 （3）指数谱之和为负。
Kolmogorov熵的计算可以在相空间中进行， 包括最小二乘法等。 （6）分形理论分析方法 以上分析了混沌现象及相关定义，以及混沌 的特征，判别方法及判据。使得对混沌系统 有了初步界定和了解
超声导波的应用背景

超声导波检测技术的基本原理是应力波在有界结构 中传播时会发生散射，透射，折射等现象，通过研 究应力波在波导中的传播特性，可以评估结构的完 整性。超声导波技术已经被广泛的应用于管道，铁 轨，钢绞线，索等结构中。导波在波导中传播时， 产生导波的衰减。若检测范围较大时，由于导波的 衰减性和频散性，检测信号必将表现出强噪声下的 弱信号特征。此检测问题已经成为影响超声导波检 测效率重要因素之一。
系统进入混沌状态，得到相轨图如下所示， 也可以称为是奇怪吸引子
用李雅普诺夫指数图像验证
此图是如果方程变成了加上信号F*cos(c*t)后
的指数，其中F=0.66，c=0.43 由图中可以看出，最终当李雅普诺夫指数曲 线趋于稳定的一个值时，此时存在李雅普诺 夫指数大于0 ，而且三个指数的和一定是负 的，所以处于混沌状态，与前面的相轨图得 到的结果是一样的。

（1）混沌是非线性动力系统在一定控制参
数范围内产生的，对初始条件具有敏感依 赖性的非周期行为的状态，处于这种行为 状态的系统称为混沌系统。其中非线性是 动力系统出现混沌行为最根本的条件，是 系统必然要具备的因素。 （2）在决定论混沌中，混沌是一种动力学 系统的演化形式。在经典力学中，不论耗 散系统还是保守系统的运动，都可用相空 间中的轨迹来表示。混沌运动是确定论系 统中局限于有限相空间的轨道的高度不稳 定的运动。
（3）时域及相轨迹的直接观察方法：在时域
分析里，可通过观察各个状态变量的时域波 形，发现分岔和阵发性混沌，以及出现奇怪 吸引子。 （4）分维数 ：混沌运动具有某种潜在的秩 序，并能以相对较少的自由度来描述。分维 数给出了有关混沌的自由度的信息，分维数 的具体形式有很多种
（5）Kolmogorov熵：关联维数和
利用混沌振子检测微弱信号的基本思想是:将
待测信号作为混沌系统特定参数的补充而引 入混沌系统,根据系统由混沌向有序的相变,判 断出待测微弱信号的存在(幅值、频率、相位 等)

具体检测原理如下:首先在未加入待测信号之 前调节系统的策动力f（注意在此处调节的是 策动力f而不是阻尼k）使系统处于由混沌状 态向大尺度周期状态过渡的临界状态,得到阈 值fc。然后,加入同频率（是指和谁的频率相 同，还是说加入这些的信号的频率是相同的） 的待测信号αcos(t),
由于Duffing混沌系统对弱周期信号的敏感性,
加入弱周期信号后使系统发生相变后进入大 尺度周期状态(由于该混沌系统对噪声具有免 疫力,故噪声并不会影响系统的相变)。这时, 再次调节策动力f使得系统再次处于混沌到大 尺度周期的临界状态,得到策动力fc′。待测信 号的幅值α=fc-fc′。（通过比较加入信号前后 策动力幅值的大小就可以得到待测信号的幅 值）然而不同幅值的弱信号最后算出的李雅 普诺夫指数也是不同的，差别很大。
（2）长期不可预测性 混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可
以预测的，混沌对初始值的敏感性说明对其 进行预测存在一定难度。对于一个混沌过程， 对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢 失一部分信息，当预测若干次后，丢失的信 息越来越多，剩余的信息不足以进行合适的 预测，因此混沌不适合做长期预测。
三混沌系统的判据
所有混沌系统一定是非线性系统，但非线性
系统不一定是混沌系统。确定一个系统是否 存在混沌需要从多方面加以分析，结合定性 分析系统机理和其他方法，一下简介一些常 用的判别系统或时间序列是否具有混沌特性 的方法。
（1）Poincare截面法
：在相空间中选取一 截面，在截面上某一对共轭变量构成的截面 称为Poincare截面.当Poincare截面上是一些 成片的具有分形结构的密集点时，说明系统 是混沌的。 （2）Lyapunov指数法 ：李雅普诺夫指数是 指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间 的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。
加入超声导波信号s（t）后的相轨图
相应的李雅普诺夫指数图
通过综合分析可以如下结论： （1）策动力幅值对混沌运动有很大影响。在
同一策动力频率下，随着策动力幅值的不同， 动力学行为不同，表现为产生的混沌运动的 相轨迹不同。 2）固定一个F，或者说怎么从李雅普诺夫指 数的图像来求出此时对应的李雅普诺夫指数 呢。由于系统最终会趋于稳定，也就是李雅 普诺夫指数也会趋于一个定值，用最后稳定 的那个约数来表征李雅普诺夫指数也可以， 或者利用曲线的平均值来求也可以。或者利 用最小二乘法进行拟合。
（3）此系统的相变对周期小信号具有极强的
敏感性，对白噪声或者与参考信号频差较大 的周期干扰信号具有很强的免疫力，这就是 杜芬混沌振子显著的特征，也是其检测微弱 信号的基础。固定k=0.5，系统的相变比较明 显，一般固定k=0.5，去改变F。F从0依次增 大，混沌振子系统依次历经同宿轨道，分叉， 混沌，临界周期，大尺度周期五个状态。
性和混沌吸引子对噪声的免疫力使其在微弱 信号检测方面具有很好的应用。这种检测方 法主要以相轨迹从混沌状态向大尺度周期 态的转变为检测依据。因此对系统相轨迹图 模式的识别就可能存在误判以致带来误差。 所以就需要一个合适的指标来表示混沌系统 相轨迹的状态改变。所以采用李雅普诺夫指 数来进行定量计算，两者相互验证。
（3）分形性 分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为
特征，表示混沌运动状态具有多叶，多层结 构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自 相似结构。混沌的相图通常表现为复杂的结 构，通过放大可以观测到自相似特征。
（4）有界性 混沌运动轨线始终局限于一个确定区域，混
沌吸引子是混沌有界性的最好体现。 （5）遍历性 混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的， 在有限时间内混沌轨道不重复地经历吸引子 内每一个状态点的邻域。 （6）混沌的运动限于有限区域且轨道永不重 复 （7）具有丰富的层次和自相似结构
（3）再考虑加入一个正弦信号，从而相当于
改变了周期策动力，也会是相轨图有所变化， 此时加入正弦信号令
此时方程变为
相轨图为如下
利用李雅普诺夫指数得到的图像为
无论是从相轨图还是李雅普诺夫指数都能看
出明显的混沌现象。然后将F调到系统处于混 沌运动和大周期运动的临界阈值，此时加入 同频率的导波信号，由于相当于改变了系统 的策动力幅值F，由于初值敏感性，系统会发 生明显的相轨图的变化。这也是用杜芬系统 检测导波弱信号的原理所在。得相轨图和李 雅普诺夫指数图分别如下：