目录第十一章时间序列分析___________________________________________________________________ 2第一节时间序列的有关概念______________________________________________________________ 3一、时间序列的构成因素_______________________________________________________________ 3二、时间序列的数学模型_______________________________________________________________ 4第二节时间序列的因素分析______________________________________________________________ 4一、图形描述_________________________________________________________________________ 4二、长期趋势分析_____________________________________________________________________ 5三、季节变动分析_____________________________________________________________________ 8四、循环波动分析____________________________________________________________________ 12第三节随机时间序列分析_______________________________________________________________ 14一、平稳随机过程概述________________________________________________________________ 14二、ARMA模型的识别 _______________________________________________________________ 15三、模型参数的估计__________________________________________________________________ 19英文摘要与关键词______________________________________________________________________ 21习题_________________________________________________________________________________ 21第十一章时间序列分析通过本章的学习，我们应该知道：1.时间序列的数学模型及含义2.如何进行长期趋势分析3.如何进行季节变动分析4.如何进行循环变动分析5.A RMA模型的识别与参数估计时间序列分析是一种广泛应用的数量分析方法，主要用于描述和探索现象随时间发展变化的数量规律性。

时间序列分析通常分传统的时间序列分析与现代的时间序列分析两种，前者研究各种时间序列因素分解以及长期趋势、季节变动、循环变动三要素的分析；后者则主要研究AR模型、MA模型和ARMA模型。

第一节时间序列的有关概念任何事物都处于不断的运动和发展变化中，为探索现象发展变化的规律性，我们需要观察现象随时间变化的数量特征。

我们把某种现象发展变化的指标数值按一定时间顺序将排列起来形成的数列，称为时间序列，第二章我们提供的数据集01和数据集04也都属于时间序列。

表11.1是从数据集摘录的部分数据。

一、时间序列的构成因素事物的发展受多种因素的影响，时间序列的形成也是多种因素共同作用的结果，在一个时间序列中，有长期的起决定性作用的因素，也有临时的起非决定性作用的因素；有可以预知和控制的因素，也有不可预知和不可控制的因素，这些因素相互作用和影响，从而使时间序列变化趋势呈现不同的特点。

影响时间序列的因素大致可分为四种：长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动。

1. 长期趋势（Trend）长期趋势是指现象在相当长的一段时期内，受某种长期的、决定性的因素影响而呈现出的持续上升或持续下降的趋势，通常以T表示。

如中国改革开放以来国内生产总值持续上升。

2. 季节变动（Seasonal variation）季节变动是指现象在一年内，由于受到自然条件或社会条件的影响而形成的以一定时期为周期(通常指一个月或季)的有规则的重复变动，通常以S表示。

如时令商品的产量与销售量，旅行社的旅游收入等都会受到季节的影响。

应注意的是在这里提到的“季节”并非通常意义上的“四季”，季节变动中所提及的主要指广义的概念，可以理解为一年中的某个时间段，如一个月，一个季度，或任何一个周期。

3. 循环变动（Cyclical variation）循环变动是指现象持续若干年的周期变动，通常以C表示。

循环变动的周期长短不一，没有规律，而且通常周期较长，不像季节变动有明显的变动周期(小于一年)。

循环变动不是单一方向的持续变动，而是涨落相间的交替波动。

如经济周期。

4. 不规则变动（Irregular Random variation）不规则变动是指现象由于受偶然性因素而引起的无规律、不规则的变动，如受到自然灾害等不可抗力的影响，通常以I表示，这种变动一般无法作出解释。

二、时间序列的数学模型时间序列各影响因素之间的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成时间序列的分解模型，我们可以从时间序列的分解模型中将各因素分离出来并进行测定，了解各因素的具体作用如何。

通常我们采用加法模型和乘法模型来描述时间序列的构成。

加法模型的表达式为：Y=T+S+C+I，式中Y表示时间序列的指标数值，T、S、C、I分别表示长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动，使用加法模型的基本假设前提是各个影响因素对时间序列的影响是可加的，并且是相互独立的。

而乘法模型的表达式为：Y=T×S×C×I，使用乘法模型的基本假设前提是各影响因素对时间序列的影响是相互不独立的。

第二节时间序列的因素分析时间序列的形成受到多个因素的影响，影响因素可以归纳为四个方面：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。

本节主要介绍前三种影响因素的测定分析方法。

首先我们可以通过图形对序列的特点作初步的认识，识别其简单的统计规律一、图形描述作图是显示统计数据基本变动规律最简单、最直观的方法，下面我们先介绍几种常见的时间序列图形。

1. 平稳时间序列与非平稳时间序列时间序列的平稳性是我们建模的重要前提，在检验时间序列的平稳性时，必须要考虑其均值和方差，如果一个序列的统计特性不随时间的变化而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化，那么这个时间序列为平稳时间序列，如图11.1所示。

图11.1 化学反应产出量不具有平稳性即序列均值或协方差与时间有关的序列称之为非平稳序列，如图12.2所示。

图11.2 美国电冰箱月度需求2. 仅包含长期趋势下图是我国1992-2002年间GDP的发展趋势，图形呈现持续上升趋势。

图11.3 我国GDP发展趋势3. 既包括长期趋势，又包括季节变动图12.4是根据某地区农业生产资料的季度销售额作出的，图中既有缓慢地上升趋势，又有季节的波动。

图11.4 某地区农业生产资料季度销售额的波动二、长期趋势分析长期趋势是时间序列中主要的构成因素，它是指现象在一段时期内持续上升或下降的发展趋势。

研究长期趋势的意义主要体现在三方面：（1）有利于认识现象随时间变化的趋势，掌握现象活动的规律；（2）有利于对现象未来的发展作出预测；（3）有利于从时间序列中剔除它的影响，进而更好地分析其他因素的影响。

时间序列的长期趋势可表现为线性趋势和非线性趋势，非线性趋势可以理解为无数线性趋势的组合，在研究方法上基于线性趋势分析方法。

因此本部分我们仅研究最简单、最基础的线性趋势。

测定长期趋势的方法很多，常用的有移动平均法和趋势线法。

（一）移动平均法（Moving Average Method）移动平均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间序列的方法。

由于序列平均数有抽象数量差异的作用，所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变动趋势。

通过移动平均法的定义易见其核心是扩大时间间隔计算序时平均数，我们有必要更进一步的认识时间间隔的选取及新数列的形成问题。

1. 时间间隔的选取应根据现象的特点和资料的情况来决定。

一般来说，如果现象发展的资料呈现出一定的周期性，应以周期的长度作为移动间隔的长度；如果是季节资料，应采用4项移动平均；如果是月份资料，应采用12项移动平均，只有这样才能削弱周期或季节的影响。

2. 新数列中每一数值应有与之对应的时间。

如果进行的是奇数项移动平均，计算的序时平均数应放在中间时期所对应的位置上，边移动边平均，每一项序时平均数都有与之对应的时间；如果进行是偶数项移动平均（如4项或12项），序时平均数同样也应放在中间时期所对应的位置上，但由于时间间隔为偶数，序时平均数所对应的时期应介于两个时间之间，不能构成时间序列，所以我们需要对相邻的序时平均数再进行一次平均。

移动平均后得到的时间序列值又称趋势值。

【例11.1】我国1990—1999年粮食产量序列见表11.1，对其进行3、4、5年的移动平均，并作图观察。

【解】表11.1 移动平均数计算表作图如下：图11.5 3、4、5年的移动平均图示通过以上例题，我们可以发现：（1）移动平均项数越多，平均的结果越平滑；（2）新数列的项数比原教师：Excel 的“数据分析”功能中有“移动平均”，但其实使用函数更为方便。

无论是用手工计算还是用“移动平均”工具对于偶数项的移动平均都要进行二次平均，好烦吧？你能不能想个办法一次解决问题？趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。

线性趋年份 粮食产量 （万吨） 3年移动平均4年移动平均 5年移动平均一次平均 二次平均 1990 44624.0 — — — — 1991 43529.0 44139.60 44516.90 — — 1992 44265.8 44481.20 44488.43 44502.66 44515.54 1993 45648.8 44808.23 45271.63 44880.03 44923.10 1994 44510.1 45606.90 46818.55 46045.09 46308.00 1995 46661.8 47208.47 47760.63 47289.59 47338.26 1996 50453.5 48844.13 49440.48 48600.55 48454.40 1997 49417.1 50366.70 50484.68 49962.58 49720.10 1998 51229.5 50495.07 — — — 1999 50838.6————势方程的一般公式为：bt a y+=ˆ （11.1） 式中：yˆ表示时间序列y 的长期趋势值；t 为时间标号；a 、b 为待定参数 两个待定参数可以通过最小二乘法求出。