解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 100 , x + y = 50 矩形菜园的面积为 xy m2
Q xy x y 50 25 得 xy<625 22
当且仅当x=y=25时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为25m时，菜园 面积最大，最大面积是625 m2
时，
x
6 y取的最 大 值，且此值为
。
2、（1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数
x y6
12 取什么值时，它们的和最小？
（2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数
x y9 81 取什么值时，它们的积最大？
3、用 20cm 长的铁丝，怎样才能折成一面积最大的矩形？
长和宽都为5时，面积最大，最大面积为25
Q x y xy x y 2 36, 2 2(x y) 24
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=6.
因此，这个矩形的长、宽都为6m时，所用的篱笆 最短，最短的篱笆是24m.
例3、（2）一段长为100m的篱笆围成一矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。 最大面积是多少？
剖析新知
比对分析、加深理解 基本不等式1： 基本不等式2： 相同点：
不同点下列表述的正误。
（基本不等式的灵活使用） （基本不等式的适用范围） （基本不等式的取等条件）
× ×
剖析公式应用
1. 注意成立的条件
⑴ a、 b是两个正数. ⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 2.变形用
)
-2
当x=-1时，y取得最大值，最大值为-2
[规律方法] 在使用基本不等式 ab≤a＋2 b a≥0，b≥0 时，要注意不 等式的双向性.
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤a＋2 b2； ②从右到左：常使用 a＋b≥2\r(ab).
学以致用，小试牛刀
强调环证境明：
取等条件
变式： 当 a＞0，b＞0 时，求证：1a＋2 b1≤ ab. 证明 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2 ab＞0，
解：Q x 0, y x 1 2 x 1 2
x
x
当x=1时，等号成立
当x=1时，y取得最小值，最小值为2
变式：若x 0,求y x 1 的最大值。 x
解：Q x 0,x 0
(x) 1 2 (x) 1 2,
x
(x)
当-x= 1 时，即x=-1时等号成立 x
y
-(- x
1 -x
课堂小结
1.两个非常重要的基本不等式
2.代数、几何多种方法去证明基本不等式 3.两个重要的数学思想
变形思想、数形结合思想 4.使用基本不等式时需要注意的地方 适用范围、取等条件、灵活使用
【课后作业】
3 1、 (1) x 0, y x 9 ，当x= x
时，
6 ymin =
。
3 (2) x 0, y x 9 ，当x=
4、直角三角形的面积为 50，两条直角边各为多少时， 两直角边的和最小？最小值为多少？
两条直角边都为10时，和最小，最小为20
1.两个 正 数的和为 定 值时，它们的积有最大值，
即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则
ab £ M2 4
等号当且仅当a＝b时成立.
和定积最大
2.两个 正 数的积为 定 值时，它们的和有最小值，
即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则
a＋b≥ 2 P 积定和最小
等号当且仅当a＝b时成立.
探索新知
正方形ABCD
四个直角三角形
结论交给你，解释靠自己！ 动手吧！回答问题！
探索新知
证明：
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们 数学研究中推陈出新的重要方法
探索新知
快 快 动 手 吧 ！
探索新知
基本不等式的证明方法非常多，我们再来欣赏另一种利用几何图形来证明 定理2的方法吧！
几何平均数
基本不等式：
几何平均数
ab
a
b 2
(a
0, b
0)
当且仅当当且仅 当a=b
等号成立时，等
号成立。
算术平均数
注意：
两个不等式的不同,而等号成立的条件相同.
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
多角度理解不等式：
1.从平均数的角度： 两正数的 算术平均数 大于或等于它们的 几何平均数 2.从数列的角度： 两正数的 等差中项 大于或等于它们的 等比中项
4、 判断正误：
√ (1) x2 +1≥2 x ( )； × (2) x 1 ≥2 ( )；
x
× (3) b a ≥2 ( )；
ab
(4) lg a lg b ≥2 lg a lgb (× )； √ (5) ab ≤( a b ) 2 ( )。
2
例1、若x 0,求y x 1 的最小值及此时x的值。 x
∴1≤ a＋b 2
1ab，
∴a2＋abb≤22aabb＝ ab.
又∵a2＋abb＝1a＋2 b1， ∴1a＋2 1b≤ ab(当且仅当 a＝b 时取等号).
例3、（1）用篱笆围一个面积为36m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=36，篱笆的长为2（x+y）m.