Yn
Yn1
1 100
783
( n=1,2,…)
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100 将有多大误差?
7. 求方程 x2 56x 1 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982).
8.
当 N 充分大时,怎样求
N
1
1 x2
dx
24.
将
f
(x)
sin
1 2
x 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
25. 把 f (x) arccos x 在 1,1 上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
第四版 数值分析习题
第一章 绪 论
1. 设 x>0,x 的相对误差为δ ,求ln x 的误差.
2. 设 x 的相对误差为 2％,求 xn 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:
x1* 1.1021, x2* 0.031, x3* 385.6, x4* 56.430, x5* 71.0.
19
25
31
38
44
xi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
yi
27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:
x2 C 0,1 的最佳平方逼近,并比较其结果.
22. f (x) x 在 1,1 上,求在 1 span 1, x2, x4 上的最佳平方逼近.
sin(n 1) arccos x
un (x)
23.
1 x2
是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
un1 x 2xun x un1 x .
5.
选取常数
a
,使
max
0 x 1
x3
ax
达到极小,又问这个解是否唯一?
6. 求 f (x) sin x 在 0, / 2 上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
7. 求 f (x) ex 在 0,1上的最佳一次逼近多项式.
8. 如何选取 r ,使 p(x) x2 r 在1,1 上与零偏差最小? r 是否唯一?
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S(x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S(x) 是三次样条函数,证明
马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:
(a)当 m f (x) M 时, m Bn ( f , x) M . (b)当 f (x) x 时, Bn ( f , x) x .
3. 在次数不超过 6 的多项式中,求 f (x) sin 4x 在0, 2 的最佳一致逼近多项式.
4. 假设 f (x) 在 a,b 上连续,求 f (x) 的零次最佳一致逼近多项式.
0.4
0.5
0.6
0.7
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
0.8 -0.223144
4. 给出 cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长 h =1′=(1/60)°,若函数表具有 5 位有效数字, 研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.
5.
16. f (x) x7 x4 3x 1,求 f 20, 21,L , 27 及 f 20, 21,L , 28 .
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x) f (4) ()(x xk )2 (x xk1)2 / 4!, (xk , xk1)
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
b f (x)2dx bS(x)2dx b f (x) S(x)2dx 2 b S(x) f (x) S(x)dx
i) a
a
a
a
;
ii) 若 f (xi ) S(xi )(i 0,1,L , n) , 式 中 xi 为 插 值 节 点 , 且 a x0 x1 L xn b , 则
a, b, c.证明面积的误差 s 满足
s a b c . s abc
第二章 插值法
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
1 x0 x02 L x0n
LL LLL
Vn (x) Vn (x0 , x1,L , xn1, x) 1
xn1
x2 n1
L
xn n1
1 x x2 L xn
证明Vn (x) 是 n 次多项式,它的根是 x0,L , xn1 ,且
Vn (x) Vn1(x0, x1,L , xn1)(x x0 )L (x xn1) .
2. 当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式. 3. 给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值.
x
Fn*(x) Hn 也是奇(偶)函数.
17.
求 a 、b 使
2 0
ax
b
sin
x2dx
为最小.并与
1
题及
6
题的一次逼近多项式误差作比较.
18. f (x) 、 g(x) C1 a,b,定义
b
b
(a)( f , g) a f (x)g(x)dx;(b)( f , g) a f (x)g(x)dx f (a)g(a);
设 f (x) C2 a,b 且 f (a) f (b) 0 ,求证 axb
f (x) 1 (b a)2
8
a xb
f (x) .
8. 在 4 x 4 上给出 f (x) ex 的等距节点函数表,若用二次插值求 ex 的近似值,要使截
断误差不超过106 ,问使用函数表的步长 h 应取多少?
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x11010 x2 1010 ;
14. 试用消元法解方程组 x1 x2 2.
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
其中 c 为弧度,
2 ,且测量 a ,b ,c 的误差分别为
18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 P(x) ,使它满足 P(0) P(k 1) 并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限.
19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 P(x) ,以便使它能够满足以下边界条件
P(0) P(0) 0 , P(1) P(1) 1, P(2) 1.
问它们是否构成内积?
1 x6 dx
19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计 0 1 x 的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,
并比较其结果.
20.
选择 a ,使下列积分取得最小值:
1 (x ax2 )2dx,
1
1 x ax2 dx
1
.
21. 设空间 span1, x, 2 span x100, x101 ,分别在 1 、2 上求出一个元素,使得其为
11. 证明 ( fk gk ) fk gk gk1fk .
n1
n1
fk gk fn gn f0g0 gk1fk .
12. 证明 k0
k 0
n1
2 y j yn y0.
13. 证明 j0
14. 若 f (x) a0 a1x L an1xn1 anxn 有 n 个不同实根 x1, x2,L , xn ,证明
n
xkj
j1 f (x j )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F(x) cf (x) ,则 F x0, x1,L , xn cf x0, x1,L , xn ;
ii) 若 F(x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,L , xn f x0, x1,L , xn g x0, x1,L , xn .
20. 设 f (x) C a,b,把 a,b 分为 n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数 n (x)
并证明当 n 时, n (x) 在a,b 上一致收敛到 f (x) .
21. 设 f (x) 1/(1 x2 ) ,在 5 x 5 上取 n 10 ,按等距节点求分段线性插值函数 Ih (x) ,
?
9. 正方形的边长大约为 100 ㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 ㎝ 2 ?
S 1 gt2 10. 设 2 假定 g 是准确的,而对 t 的测量有±0.1 秒的误差,证明当 t 增加时 S 的绝对
误差增加,而相对误差却减小.
11. 序列{yn} 满足递推关系 yn 10yn1 1 (n=1,2,…),若 y0 2 1.41 (三位有效数字),
设 xk
x0
kh
,k=0,1,2,3,求
max
x0 xx3
l2 (x)
.
6. 设 x j 为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
n
xkj l j (x) xk (k 0,1,L , n);
i) j0
n
(xj x)k l j (x) k 1, 2,L , n).
ii) j0
max max 7.
9. 设 f (x) x4 3x3 1,在 0,1 上求三次最佳逼近多项式.