an)是关于 a0, a1, …，an 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，
I 0 a k
(k = 0, 1, 2, …, n)
即
n b I 2 ( x) f ( x) a j j ( x) k ( x)dx 0 a a k j 0
果存在最佳平方逼近函数，则必是
S * ( x) a* j ( x) j
j 0
n
（3）
将上述算法编写成 MATLAB 程序共需三个程序： 第一个程序（函数名 Sapproach.m） 计算最佳逼近函数的系数： function S=Sapproach(a,b,n) %定义逼近函数 global i;global j; if nargin<3 n=1; end %判断 X=zeros(n+1,n+1); for i=0:n for j=0:n; X(i+1,j+1)=quad(@fan,a,b); %求fan积分 end end Y=zeros(n+1,1); for i=0:n Y(i+1)=quad(@yb,a,b); %求yb积分 end s=X\Y 第二个程序（函数名：fan.m） ： function y=fan(x) global i;global j; y=(poly(x,i)).*poly(x,j); 第三个程序（函数名：yb.m） ： function y=yb(x) global i; y=(poly(x,i)).*exp(x); 编写多项式函数 ： function y=poly(x,k) %多项式函数 if k==0 y=ones(size(x)); else y=x.^k; end 五、实验结果与数据处理 清单： 当求的是二次逼近时得到如下结果：
S * ( x) Span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
使得

b
a
( x) f ( x) S * ( x) dx min ( x) f ( x) s( x) dx
2 b 2 a x b a
则称 S*(x)是 f (x)在集合 Span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)} 中的最佳平方逼近函数。 显然，求最佳平方逼近函数 S * ( x) a * j ( x) 的问题可归结为求它的系数 j
此方程组叫做求 aj (j = 0, 1, 2, …, n)的法方程组。 显然，其系数行列式就是克莱姆行列式 Gn = Gn (0, 1, …, n)。由于0,
1, … , n 线 性 无 关 ， 故 Gn 0 ， 于 是 上 述 方 程 组 存 在 唯 一 解
* a k a k (k 0, 1, , n) 。从而肯定了函数 f (x)在 Span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)} 中如
宁夏师范学院数学与计算机科学学院 《数值分析》实验报告
实验序号： 学 号 3 姓 名 实验项目名称：最佳平方逼近多项式 专业、班级 时 间 2013 年 10 月 9 日
实验地点 一、实验目的及要求
指导教师
1、掌握最佳平方逼近的算法，能够根据给定的函数值表达求出二、三次最佳平 方逼近多项式。 2、 、2 2
j 0* * * a 0 , a来自 , , a n ，使多元函数
n
I (a 0 , a1 , , a n )
b
a
n ( x) f ( x) a j j ( x) dx j 0
2
* * * 取得极小值， 也即点( a 0 , a1 , , a n )是 I (a0, …， n)的极点。 a 由于 I (a0, a1, …，
>> Sapproach(-1,1,2) s = 0.9963 1.1036 0.5367 当求的是三次逼近时得到如下结果 >> Sapproach(-1,1,3) s = 0.9963 0.9980 0.5367 0.1761 六、分析与讨论 在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。 从试验结果看出三次逼近没有二 次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。
得方程组
a
j 0 j b a
n
b
a
( x) k ( x) j ( x)dx
(k 0, 1, 2, , n)
( x) f ( x) k ( x)dx,
如采用函数内积记号
( k , j ) ( x) k ( x) j ( x) dx,
a b
( f , k ) ( x) f ( x) k ( x )dx,
七、教师评语 成绩
签名： 日期：
年
月
日
a
q
那么，方程组可以简写为
( , )a
j 0 k j
n
j
( f , k )
(k 0, 1, 2, , n)
（1） 这是一个包含 n + 1 个未知元 a0, a1, 成矩阵形式为 …, an 的 n + 1 阶线性代数方程组，写
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , n ) a0 ( f , 0 ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) a1 ( f , 1 ) (n , 0 ) (n , 1 ) (n , n ) an ( f , n ) （2）
S * ( x) a *j j ( x)
j 0
n
、
二、实验设备（环境）及要求 1、环境要求： 硬件：一般要求 486 以上的处理器、16MB 以上内存、足够的的硬盘可用空 间 (随安装组件的多少而定)； 软件：MATLAB 编程软件。 三、实验内容及要求 求函数 f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 四、实验过程 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] ，如果存在